2 - Mecânica Quântica
O conceito do "Quanta" de Planck está relacionado à descoberta de que a energia é quantizada e não pode ser emitida ou absorvida de forma contínua, mas sim em pacotes discretos chamados quanta. Essa descoberta foi feita por Max Planck no início do século XX, enquanto ele investigava a radiação emitida por corpos negros.
Planck percebeu que a teoria clássica da física não conseguia explicar as características da radiação emitida pelos corpos negros. Para solucionar esse problema, ele propôs uma hipótese ousada: a energia não era emitida ou absorvida de maneira contínua, mas sim em quantidades discretas, chamadas "quanta" ou "pacotes de energia".
O quanta de energia é representado pela constante de Planck, simbolizada por $h$. Essa constante, cujo valor é aproximadamente $6,626 . 10^{-34} Js^{-1}$ (joules por segundo), estabelece a escala fundamental para a quantização da energia.
A descoberta do quanta de Planck teve consequências profundas no campo da física e foi um dos marcos iniciais da teoria quântica. Ela abriu caminho para o desenvolvimento da mecânica quântica e a compreensão dos fenômenos que ocorrem em escalas muito pequenas, como o comportamento das partículas subatômicas.
Além disso, o conceito do quanta de Planck teve implicações fundamentais para a teoria da luz, levando à compreensão de que a luz também é quantizada em partículas indivisíveis chamadas de "fótons". Essa ideia desempenhou um papel crucial no desenvolvimento da teoria quântica e na compreensão da dualidade onda-partícula.
O conceito do quanta de Planck estabeleceu a ideia de que a energia é quantizada e não pode ser emitida ou absorvida de forma contínua, mas sim em pacotes discretos de energia. Essa descoberta revolucionou a física e pavimentou o caminho para o desenvolvimento da teoria quântica.
Um dos acontecimentos subsequentes significativos após as contribuições de Max Planck foi o trabalho de Albert Einstein em 1905, conhecido como o "ano miraculoso". Einstein publicou uma série de artigos revolucionários, incluindo sua teoria da relatividade especial e sua explicação do efeito fotoelétrico, que estabeleceu as bases para a compreensão da natureza quântica da luz.
Em seu artigo sobre o efeito fotoelétrico, Einstein propôs que a luz consistia de partículas discretas de energia, chamadas de fótons. Ele sugeriu que quando a luz incidia em uma superfície, ela transferia sua energia aos elétrons, e esses elétrons eram ejetados do material apenas se a energia dos fótons individuais fosse suficiente para superar a energia de ligação dos elétrons. Essa descoberta contribuiu para a compreensão de que a luz apresentava um comportamento quântico e estabeleceu a base para a teoria quântica da luz.
Outro marco subsequente importante foi a formulação da mecânica quântica por vários físicos notáveis. Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger, Max Born e outros desenvolveram diferentes formulações da mecânica quântica, que descreviam o comportamento das partículas subatômicas e sua interação com a radiação eletromagnética. Essas formulações matemáticas permitiram a previsão e interpretação dos fenômenos observados em escalas muito pequenas.
Esses desenvolvimentos subsequentes, juntamente com as contribuições de outros físicos notáveis, como Wolfgang Pauli, Max Planck (que também fez contribuições posteriores significativas) e muitos outros, pavimentaram o caminho para a consolidação da mecânica quântica como uma teoria fundamental da física. A partir daí, surgiram avanços notáveis na teoria quântica de campos, teoria quântica de partículas e outros ramos da física quântica, que continuaram a moldar nossa compreensão do mundo quântico.
Podemos estabelecer uma linha do tempo da evolução da teoria quântica, em ordem cronológica dos físicos mencionados e suas contribuições para a mecânica quântica:
- 1900: Max Planck (1858-1947) introduziu o conceito do quanta de energia e formulou a teoria do quantum para explicar a radiação do corpo negro.
- 1905: Albert Einstein (1879-1955) introduziu sua teoria da relatividade especial e explicou o efeito fotoelétrico, propondo que a luz é composta de fótons, partículas discretas de energia.
- 1911: Ernest Rutherford (1871-1937) propôs o modelo planetário do átomo, com um núcleo pequeno e denso cercado por elétrons em órbita.
- 1913: Niels Bohr (1885-1962) propôs o modelo atômico de Bohr, no qual os elétrons orbitam em níveis de energia quantizados ao redor do núcleo.
- 1916: Arnold Sommerfeld (1868-1951) expandiu o modelo atômico de Bohr, introduzindo órbitas elípticas e permitindo saltos quânticos entre elas.
- 1924: Louis de Broglie (1892-1987) propôs a hipótese de De Broglie, que sugere que partículas também podem exibir natureza ondulatória.
- 1925: Werner Heisenberg (1901-1976) formulou a mecânica quântica matricial, desenvolvendo a matriz de Heisenberg e o princípio da incerteza.
- 1925: Wolfgang Pauli (1900-1958) formulou o princípio de exclusão de Pauli, que estabelece que dois elétrons idênticos não podem ocupar o mesmo estado quântico simultaneamente.
- 1926: Erwin Schrödinger (1887-1961) desenvolveu a equação de onda, conhecida como Equação de Schrödinger, que descreve a evolução temporal dos sistemas quânticos.
- 1926: Max Born (1882-1970) propôs a interpretação estatística da função de onda, sugerindo que ela representa uma distribuição de probabilidade para as propriedades quânticas.
- 1928: Paul Dirac (1902-1984) formulou a equação de onda relativística para o elétron, conhecida como Equação de Dirac, unificando a mecânica quântica e a teoria da relatividade especial.
- 1932: John von Neumann (1903-1957) desenvolveu a formulação matemática rigorosa da mecânica quântica, conhecida como a "formulação de operadores".
- Década de 1940-50: Richard Feynman (1918-1988) desenvolveu a formulação da mecânica quântica usando os "Diagramas de Feynman", uma ferramenta para calcular interações entre partículas.
- Década de 1940: Sin-Itiro Tomonaga (1906-1979), Julian Schwinger (1918-1994), Richard Feynman e Freeman Dyson (1923-2020) desenvolveram ou colaboraram, individualmente e em conjunto, com a formulação da eletrodinâmica quântica (QED), usando o formalismo de operadores, e introduzindo o conceito de renormalização.
- Década de 1950-60: David Bohm (1917-1992) propôs uma interpretação alternativa da mecânica quântica conhecida como "Interpretação de Bohm", que envolve variáveis ocultas determinísticas.
- Década de 1960: John Bell (1928-1990) formulou o “Teorema de Bell”, estabelecendo limites para as teorias físicas locais realistas, e investigando a não-localidade e o emaranhamento quântico.
- Década de 1960: Murray Gell-Mann (1929-2019) propôs o modelo de quarks e a teoria das interações fortes, conhecida como cromodinâmica quântica (QCD – Quantum Chromodynamics).
- Década de 1960: Steven Weinberg (1933-) formulou, junto com Abdus Salam e Sheldon Glashow, a teoria eletrofraca, que unifica as interações eletromagnéticas e fracas.
- Década de 1970: Gerard 't Hooft (1946-) contribuiu para a compreensão da teoria das cordas e a gravidade quântica.
Essa linha do tempo destaca as contribuições significativas desses físicos para o desenvolvimento da mecânica quântica, base para a computação quântica, e nosso entendimento da natureza subatômica. É importante notar que muitos outros cientistas também fizeram contribuições importantes para o campo.
Limitações da física clássica
A física clássica é a teoria física que descreve o comportamento dos objetos macroscópicos, ou seja, aqueles que podemos observar com nossos sentidos, como bolas de bilhar, carros, planetas, etc. A física clássica é baseada nas leis de Newton e em outras teorias que descrevem o movimento dos objetos, como a termodinâmica e o eletromagnetismo.
No entanto, quando os cientistas começaram a estudar objetos muito pequenos, como átomos e partículas subatômicas, descobriram que a física clássica não podia explicar todos os fenômenos observados. A física clássica era limitada em sua capacidade de descrever o comportamento desses objetos muito pequenos e, portanto, uma nova teoria era necessária.
A mecânica quântica é a teoria física que foi desenvolvida para explicar os fenômenos observados em escalas muito pequenas. Foi criada no início do século XX por cientistas como Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger, entre outros.
A mecânica quântica é baseada em conceitos diferentes da física clássica, como a ideia de que partículas subatômicas têm propriedades quânticas que não podem ser conhecidas com certeza. Ela introduz o conceito de estados quânticos, que são combinações de possíveis resultados de medições quânticas.
A mecânica quântica também introduz o fenômeno da superposição quântica, que permite que um sistema quântico possa estar em dois ou mais estados ao mesmo tempo, e o emaranhamento quântico, onde duas partículas podem estar entrelaçadas de forma que as propriedades de uma afetem as propriedades da outra, independentemente da distância entre elas.
A mecânica quântica surgiu como uma teoria para explicar os fenômenos observados em escalas muito pequenas, onde a física clássica não é suficiente. Ela introduz novos conceitos e ideias, que parecem estranhos e contra intuitivos para nossa experiência cotidiana, mas que foram comprovados por experimentos e hoje fazem parte da base da física moderna.
Conceitos básicos da mecânica quântica
A mecânica quântica é a teoria física que descreve o comportamento de partículas subatômicas, como elétrons, prótons e fótons. Ela é baseada em conceitos diferentes da física clássica, como a ideia de que partículas subatômicas têm propriedades quânticas que não podem ser conhecidas com certeza.
Na mecânica quântica, as partículas são descritas como tendo características de onda e partícula ao mesmo tempo, o que é conhecido como dualidade onda-partícula. Esse conceito é fundamental na mecânica quântica e implica que, dependendo da situação, uma partícula pode se comportar como uma onda ou como uma partícula.
As ondas na mecânica quântica são descritas pela equação de Schrödinger, que é usada para calcular a probabilidade de uma partícula estar em um determinado lugar em um determinado momento. Essa equação descreve como as ondas da partícula evoluem no tempo e no espaço, permitindo prever a probabilidade de encontrá-la em diferentes lugares.
As partículas na mecânica quântica são descritas por uma função de onda, que é uma função matemática que descreve a probabilidade de uma partícula estar em um determinado lugar em um determinado momento. Essa função de onda é usada para calcular as propriedades quânticas da partícula, como sua energia e momento.
A dualidade onda-partícula implica que, em algumas situações, as partículas podem se comportar como ondas, exibindo fenômenos como interferência e difração, e em outras situações, elas se comportam como partículas, como quando são detectadas em um ponto específico.
A mecânica quântica descreve as partículas subatômicas como tendo características de onda e partícula ao mesmo tempo, e a dualidade onda-partícula é fundamental para explicar como as partículas se comportam em diferentes situações. As ondas na mecânica quântica são descritas pela equação de Schrödinger e as partículas são descritas por uma função de onda que descreve sua probabilidade de estar em um determinado lugar em um determinado momento.
A dualidade onda-partícula das partículas subatômicas
Todas as partículas subatômicas têm comportamento com a dualidade onda-partícula. Isso significa que, em certas circunstâncias, as partículas podem exibir propriedades de onda, como difração e interferência, bem como comportamento de partícula, como massa e carga elétrica.
A dualidade onda-partícula é uma das características fundamentais da natureza quântica da matéria, e um dos aspectos mais intrigantes e fundamentais da física quântica, sendo uma das bases teóricas da mecânica quântica, tendo implicações profundas para a compreensão da natureza da matéria e da realidade em si.
A dualidade onda-partícula se aplica a todas as partículas, independentemente de sua carga elétrica ou massa. Embora a natureza ondulatória seja mais evidente em partículas mais leves como os elétrons, ela também é observada em partículas mais massivas, como os prótons e os nêutrons.
O comportamento ondulatório das partículas subatômicas é mais evidente em experimentos que envolvem a difração de elétrons e na dupla fenda de elétrons, partículas com carga elétrica e massa, onde elétrons individuais se comportam como ondas e produzem padrões de interferência quando passam por duas fendas. Nesse experimento clássico da física quântica, elétrons individuais são disparados através de duas fendas e produzem um padrão de interferência na tela de detecção, como se fossem ondas. Esse comportamento ondulatório é uma das evidências mais diretas da dualidade onda-partícula dos elétrons.
Além disso, a difração de elétrons em cristais também é um exemplo de comportamento ondulatório dos elétrons. Quando os elétrons atravessam um cristal, eles interagem com os átomos do cristal e sofrem difração, como se fossem ondas.
Para partículas mais massivas, como os prótons, a natureza ondulatória é menos evidente, mas ainda está presente em certas circunstâncias e pode ser observada com técnicas experimentais apropriadas.
Os prótons e nêutrons, partículas com massa (os prótons com carga elétrica), também podem exibir propriedades ondulatórias em certas circunstâncias, como nos experimentos realizados com feixes de prótons ou nêutrons passando por uma grade de difração e comportando-se comportam como ondas, produzindo um padrão de interferência na tela de detecção após passarem pela grade, semelhante ao que ocorre com a difração de ondas eletromagnéticas como a luz.
A dualidade onda-partícula é um dos aspectos mais fundamentais da física quântica e é uma das bases teóricas da mecânica quântica. Ela tem implicações profundas para a compreensão da natureza da matéria e da realidade em si.
Princípio da superposição
O princípio da superposição é um conceito fundamental na mecânica quântica que afirma que uma partícula quântica pode estar em vários estados simultaneamente, até que sua posição seja observada ou medida. Isso significa que, antes de ser observada, a partícula existe em um estado de superposição de todos os estados possíveis, com uma probabilidade associada a cada estado.
Para entender melhor, podemos pensar em um exemplo simples: uma partícula quântica como um elétron pode estar em diferentes posições, definindo diferentes estados, por exemplo, no estado A ou no estado B. Na mecânica clássica, a partícula estaria em apenas um desses estados, mas na mecânica quântica, ela pode estar em ambos estados simultaneamente, com uma probabilidade associada a cada estado.
Isso significa que, antes de ser observada, a partícula existe em um estado de superposição, que é uma combinação linear dos estados possíveis. Por exemplo, se a partícula pode estar no estado A com uma probabilidade de 50% e no estado B com uma probabilidade de 50%, então ela está em um estado de superposição que é uma combinação de ambos estados, com 50% de probabilidade para cada um.
O princípio da superposição é uma consequência direta da equação de Schrödinger, que descreve o comportamento das ondas quânticas. Essa equação permite calcular a probabilidade de encontrar a partícula em diferentes posições e estados, levando em conta a superposição dos diferentes estados possíveis.
O princípio da superposição tem implicações importantes na mecânica quântica, especialmente para a computação quântica, que é baseada na capacidade de processar informações em superposição. Isso permite que os computadores quânticos realizem cálculos muito mais rapidamente do que os computadores clássicos, pois podem explorar a superposição de estados para realizar várias operações em paralelo.
Casos de superposição
Na computação quântica, a superposição é um fenômeno no qual um qubit (unidade básica de informação quântica) pode estar em vários estados simultaneamente. O exemplo mais comum é a superposição 50% a 50%, no qual o qubit pode estar tanto em 0 quanto em 1 ao mesmo tempo. No entanto, existem outras formas de superposição na computação quântica além dessa:
- Superposição de fase: nessa forma de superposição, um qubit pode ter um peso diferente em cada estado possível. Por exemplo, pode ter probabilidade de 70% de estar em 0 e probabilidade de 30% de estar em 1.
- Superposição de estados entrelaçados: esse tipo de superposição ocorre quando dois ou mais qubits estão entrelaçados, o que significa que as propriedades quânticas de um qubit estão correlacionadas com as propriedades quânticas dos outros qubits. Isso permite que os qubits estejam em um estado que não podem ser descritos independentemente de cada qubit individualmente.
- Superposição em ângulos diferentes: em vez de serem superpostos 50% a 50%, dois qubits podem estar superpostos em ângulos diferentes, o que significa que a probabilidade de um qubit estar em um estado é maior do que a probabilidade de estar no outro estado. Isso é chamado de superposição em ângulo.
- Superposição em espaços de Hilbert maiores: além dos qubits, outros sistemas quânticos, como qutrits (sistemas quânticos com três estados possíveis), qubits de spin (sistemas quânticos com propriedades magnéticas) e átomos quânticos, também podem estar em superposição em espaços de Hilbert maiores do que o espaço de Hilbert de dois estados de um qubit. Isso permite que eles estejam em estados que não podem ser descritos apenas com a superposição de dois estados.
Esses são apenas alguns exemplos de superposição na computação quântica além da superposição meio a meio, 50% a 50%. A superposição é um dos fundamentos da computação quântica e é essencial para a realização de cálculos quânticos mais complexos do que os possíveis na computação clássica.
Superposição de pulsos de ondas na computação quântica
A superposição de pulsos de ondas na computação quântica é um conceito que se refere à superposição de estados quânticos em sistemas ópticos, como fótons. Na computação quântica óptica, a informação é codificada em estados quânticos de fótons, e a superposição de pulsos de ondas é uma forma de criar estados quânticos que podem ser usados para realizar cálculos quânticos.
Na superposição de pulsos de ondas, dois ou mais pulsos de ondas são combinados para criar um único estado quântico, que é a superposição dos estados dos pulsos individuais. Por exemplo, se dois pulsos de ondas tiverem frequências diferentes, eles podem ser combinados para criar um único estado quântico que é a superposição dos estados dos pulsos individuais.
Essa técnica pode ser usada para criar estados quânticos complexos que são difíceis ou impossíveis de criar de outras maneiras. Por exemplo, pode ser usada para criar estados quânticos em que a fase de um pulso é modulada em relação à fase de outro pulso. Esses estados quânticos podem ser usados para realizar cálculos quânticos e realizar operações de emaranhamento, que são essenciais para a computação quântica.
A superposição de pulsos de ondas também pode ser usada para criar estados quânticos em que a amplitude e a fase dos pulsos são moduladas, o que permite a criação de estados quânticos que podem ser usados para realizar cálculos quânticos mais complexos.
A superposição de pulsos de ondas é uma técnica importante na computação quântica óptica que permite criar estados quânticos complexos que são essenciais para realizar cálculos quânticos e operações de emaranhamento.
Papel da mecânica quântica na compreensão do mundo
A mecânica quântica é uma teoria fundamental da física que descreve o comportamento das partículas subatômicas. Ela surgiu como uma resposta aos limites da física clássica, que não conseguia explicar alguns fenômenos observados em escalas muito pequenas, como a dualidade onda-partícula e a superposição de estados.
A mecânica quântica tem um papel fundamental na compreensão do mundo, pois ela é a base da física moderna e explica como as partículas interagem entre si em nível subatômico. Ela também tem implicações importantes em outras áreas, como a química, a biologia e a tecnologia.
Na tecnologia moderna, a mecânica quântica tem sido fundamental para o desenvolvimento de dispositivos eletrônicos avançados, como os transistores e os circuitos integrados. Ela também é a base da criptografia quântica, uma forma segura de criptografia que é resistente aos ataques de hackers. Além disso, a mecânica quântica é a base da computação quântica, uma nova forma de processamento de informações que promete revolucionar a computação e resolver problemas que são impossíveis de serem resolvidos pelos computadores clássicos.
No entanto, a mecânica quântica é uma teoria complexa e não intuitiva, que muitas vezes desafia nossa compreensão comum do mundo. Por exemplo, o princípio da incerteza de Heisenberg afirma que não podemos conhecer a posição e a velocidade de uma partícula ao mesmo tempo com precisão absoluta. Isso significa que a mecânica quântica desafia nossas intuições sobre como o mundo funciona, e muitas vezes tem implicações paradoxais que parecem contradizer a lógica clássica.
A mecânica quântica é uma teoria fundamental que tem um papel importante na compreensão do mundo e na tecnologia moderna. Ela descreve o comportamento das partículas subatômicas e tem implicações importantes em várias áreas da ciência e da tecnologia. No entanto, ela é uma teoria complexa e muitas vezes desafia nossas intuições comuns sobre como o mundo funciona.
2.1 - Princípios fundamentais da mecânica quântica
2.2 - Estados quânticos e operadores
São apresentados:
- Os estados quânticos e operadores na mecânica quântica.
- Os conceitos de vetor e espaço vetorial, mostrando como esses conceitos são utilizados na descrição dos estados quânticos.
- As propriedades da função de onda, que descrevem o estado quântico.
- Os operadores lineares, que são usados para representar as observáveis físicas, tais como posição, momento e energia, e como eles agem sobre os estados quânticos.
- Propriedades dos operadores Hermitianos, que são importantes para as medidas e incertezas na mecânica quântica.
- Exemplos de estados quânticos, tais como o estado de spin, e como eles são descritos por meio de operadores.
- A interpretação probabilística da mecânica quântica e a relação entre a função de onda e a probabilidade de observação de uma partícula em um determinado estado.
Estados quânticos e operadores na mecânica quântica
A mecânica quântica é uma teoria fundamental da física que descreve o comportamento das partículas subatômicas, como elétrons, prótons e fótons. Uma das principais características da mecânica quântica é que ela descreve as partículas em termos de estados quânticos, que são representados por funções de onda matemáticas.
Um estado quântico é uma representação matemática de uma partícula, que inclui informações sobre sua posição, momento e outras propriedades físicas. A função de onda que descreve o estado quântico de uma partícula pode ser escrita usando a equação de Schrödinger, que descreve a evolução temporal da partícula.
Na mecânica quântica, os operadores são usados para representar observáveis físicos, como posição, momento, energia e spin. Um operador é uma função matemática que age sobre a função de onda que descreve o estado quântico da partícula, e produz um resultado que representa a medição da observável associada.
Os operadores na mecânica quântica são representados por matrizes, e a ação de um operador sobre uma função de onda pode ser representada pela multiplicação da matriz pelo vetor da função de onda. O resultado dessa multiplicação é outra função de onda, que descreve o estado quântico da partícula após a medição da observável associada.
Um exemplo de um operador na mecânica quântica é o operador de posição, que representa a posição da partícula ao longo de um eixo específico. A ação desse operador sobre uma função de onda resulta em uma nova função de onda que descreve a distribuição de probabilidade da posição da partícula ao longo desse eixo.
A mecânica quântica usa estados quânticos e operadores para descrever o comportamento das partículas subatômicas. Os estados quânticos representam as propriedades físicas da partícula, enquanto os operadores representam as observáveis físicas que podem ser medidas.
Conceitos de vetor e espaço vetorial nos estados quânticos
Apresentamos agora os conceitos de vetor e espaço vetorial, mostrando como esses conceitos são utilizados na descrição dos estados quânticos.
Na matemática, um vetor é um objeto matemático que possui magnitude e direção. O vetor pode ser representado graficamente como uma seta, onde o comprimento da seta representa a magnitude do vetor e a direção da seta representa a direção do vetor.
Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que possui propriedades específicas, como a capacidade de realizar operações aritméticas, como soma e multiplicação por um escalar.
Um espaço vetorial pode ser definido em termos de uma base de vetores, que é um conjunto mínimo de vetores que podem ser combinados linearmente para criar todos os outros vetores no espaço vetorial.
Na mecânica quântica, os estados quânticos são descritos como vetores em um espaço vetorial complexo. Esses vetores são chamados de vetores de estado ou vetores de onda, e são representados por funções matemáticas chamadas de funções de onda.
A base de vetores usada na mecânica quântica é chamada de base de estados próprios, que é um conjunto de vetores que são autoestados de um operador específico. Esses autoestados representam os estados possíveis em que a partícula pode estar, quando medida pelo operador associado.
Por exemplo, no caso de um elétron, a base de estados próprios pode ser a base de spin, que descreve o spin do elétron em termos de seus componentes ao longo de três eixos perpendiculares. Cada estado próprio em um dos eixos representa um vetor de estado no espaço vetorial.
Os operadores na mecânica quântica são representados por matrizes que agem sobre os vetores de estado no espaço vetorial. A aplicação desses operadores nos vetores de estado resulta em uma nova função de onda que representa o estado da partícula após a aplicação do operador.
A mecânica quântica utiliza conceitos de vetores e espaços vetoriais para descrever os estados quânticos das partículas. Os vetores de estado são representados por funções de onda e são combinados linearmente para criar todos os outros estados possíveis. Os operadores na mecânica quântica são representados por matrizes que agem sobre os vetores de estado e produzem novas funções de onda que representam o estado da partícula após a aplicação do operador.
Propriedades da função de onda e o estado quântico
A função de onda é uma das principais ferramentas matemáticas usadas na mecânica quântica para descrever o estado quântico de uma partícula. É uma função matemática que descreve a amplitude de probabilidade de encontrar a partícula em uma determinada posição ou momento.
Aqui estão algumas das propriedades da função de onda na mecânica quântica:
- Normalização: a função de onda deve ser normalizada, ou seja, a integral da função de onda ao longo de todo o espaço deve ser igual a 1. Isso significa que a probabilidade total de encontrar a partícula em qualquer lugar no espaço é 1.
- Continuidade: a função de onda deve ser contínua em todo o espaço, incluindo nas fronteiras. Isso garante que a função de onda seja bem comportada em todo o espaço e que as propriedades da partícula possam ser descritas com precisão.
- Unicidade: o estado quântico é descrito por uma única função de onda, que é única até uma constante de fase. Isso significa que qualquer múltiplo da função de onda representa o mesmo estado quântico.
- Superposição: dois ou mais estados quânticos podem ser combinados linearmente para criar um novo estado quântico, conhecido como superposição. Isso é representado pela combinação linear das funções de onda correspondentes a cada estado quântico.
- Evolução temporal: a função de onda evolui no tempo de acordo com a equação de Schrödinger, que descreve a mudança do estado quântico em resposta a um dado hamiltoniano. Isso permite que as propriedades da partícula sejam descritas em qualquer ponto no tempo.
- Incerteza: a função de onda é usada para calcular a distribuição de probabilidade da posição e momento da partícula. Devido ao princípio da incerteza de Heisenberg, a incerteza na posição e momento não pode ser reduzida simultaneamente abaixo de um certo limite, o que significa que a função de onda não pode descrever com precisão a posição e momento de uma partícula em um determinado momento.
Essas são algumas das propriedades da função de onda na mecânica quântica. A função de onda é uma ferramenta poderosa que permite descrever com precisão as propriedades das partículas subatômicas e é fundamental para a compreensão da mecânica quântica.
Os operadores lineares e as observáveis físicas
Na mecânica quântica, as observáveis físicas, como posição, momento , energia e spin, são representadas por operadores lineares. Esses operadores agem sobre os estados quânticos, transformando um estado quântico em outro estado quântico. Aqui estão alguns exemplos de operadores lineares e como eles agem sobre os estados quânticos:
- Operador de posição: o operador de posição é representado por x e age na função de onda Ψ(x) da seguinte forma: xΨ(x) = xΨ. Isso significa que o operador de posição multiplica a função de onda por x, ou seja, ele extrai a posição da partícula.
- Operador de momento: o operador de momento é representado por p e age na função de onda Ψ(x) da seguinte forma: pΨ(x) = -iħ(dΨ/dx). Isso significa que o operador de momento é o negativo da derivada da função de onda em relação a x multiplicada por ħ, ou seja, ele extrai o momento da partícula.
- Operador de energia: o operador de energia é representado por H e age na função de onda Ψ(x) da seguinte forma: HΨ(x) = EΨ(x). Isso significa que o operador de energia multiplica a função de onda por uma constante E, que é a energia do estado quântico.
- Operador de spin: o operador de spin é representado por S e age na função de onda Ψ(s) da seguinte forma: SΨ(s) = sΨ(s). Isso significa que o operador de spin multiplica a função de onda por uma constante s, que é a projeção do spin da partícula em uma determinada direção.
Esses são alguns exemplos de operadores lineares e como eles agem sobre os estados quânticos. Os operadores lineares são fundamentais na mecânica quântica, pois permitem descrever com precisão as propriedades das partículas subatômicas e prever o resultado de experimentos quânticos.
Propriedades dos operadores Hermitianos
Os operadores Hermitianos são muito importantes na mecânica quântica, pois são diretamente relacionados a medidas físicas e incertezas. Aqui estão algumas propriedades dos operadores Hermitianos:
- Autovalores reais: um operador Hermitiano A tem autovalores reais, o que significa que quando aplicamos o operador A em uma função de onda Ψ, o resultado é um múltiplo da própria Ψ, com AΨ = aΨ, onde "a" é um número real.
- Vetores próprios ortogonais: um operador Hermitiano A tem vetores próprios ortogonais, o que significa que quando aplicamos o operador A em duas funções de onda diferentes Ψ1 e Ψ2 que correspondem a diferentes autovalores a1 e a2, respectivamente, obtemos um resultado nulo quando calculamos o produto interno das duas funções de onda: ⟨Ψ1|Ψ2⟩ = 0. Isso significa que os vetores próprios correspondentes a autovalores diferentes são ortogonais entre si.
- Adjoint do operador: o adjoint do operador A é denotado por A† e é igual ao operador A, mas com as funções de onda trocadas de ordem e os coeficientes complexos conjugados: ⟨Ψ|AΦ⟩ = ⟨A†Ψ|Φ⟩*. Isso significa que o adjoint de um operador Hermitiano é igual a si mesmo.
- Incerteza mínima: os operadores Hermitianos são fundamentais na relação de incerteza de Heisenberg, que estabelece uma limitação fundamental à precisão com que podemos medir duas observáveis físicas simultaneamente. De acordo com a relação de incerteza de Heisenberg, a incerteza na medida de duas observáveis físicas diferentes é limitada pelo produto da incerteza do operador correspondente. Os operadores Hermitianos têm a propriedade de que a incerteza na medida de uma observável é minimizada, quando a medida é feita no vetor próprio correspondente ao autovalor da medida. Isso é conhecido como Princípio da Medida de von Neumann.
Essas são algumas propriedades importantes dos operadores Hermitianos na mecânica quântica. Eles são fundamentais para a descrição precisa e a compreensão das medidas físicas em sistemas quânticos.
Exemplos de estados quânticos descritos por operadores
Um exemplo de estado quântico é o estado de spin, que descreve a orientação do momento angular de uma partícula. O spin pode ser medido em duas direções perpendiculares, geralmente denominadas eixos x e y. O spin também pode ser medido em uma direção específica, geralmente denominada eixo z.
Os estados de spin são geralmente descritos por meio de um vetor coluna com duas componentes, chamado vetor de spin. As componentes deste vetor descrevem as probabilidades de encontrar a partícula com spin "para cima" ou "para baixo" ao longo de um determinado eixo. Por exemplo, o vetor de spin para um elétron no estado "para cima" ao longo do eixo z é:
$|↑⟩ = [1 0] T$
Onde "T" indica a transposição do vetor coluna. O vetor de spin para um elétron no estado "para baixo" ao longo do eixo z é:
$|↓⟩ = [0 1] T$
Os operadores são usados para descrever como os estados de spin se transformam quando medidos em diferentes direções. Por exemplo, o operador Sx representa a medida do spin ao longo do eixo x, o operador Sy representa a medida do spin ao longo do eixo y e o operador Sz representa a medida do spin ao longo do eixo z.
O operador Sx pode ser representado por uma matriz 2x2 da seguinte forma:
$Sx = ½ [0 1; 1 0]$
Quando aplicado ao estado de spin |↑⟩, o operador Sx transforma o estado para |↓⟩, e vice-versa. O operador Sy tem uma matriz semelhante:
$Sy = ½ [0 -i; i 0]$
Quando aplicado ao estado de spin |↑⟩, o operador Sy transforma o estado em uma combinação de |↑⟩ e |↓⟩, com uma fase complexa.
O operador Sz é representado por uma matriz diagonal:
$Sz = ½ [1 0; 0 -1]$
Quando aplicado aos estados de spin |↑⟩ e |↓⟩, o operador Sz retorna o mesmo estado, multiplicado por um fator de escala.
Esses são apenas alguns exemplos de como os estados quânticos podem ser descritos por meio de operadores. A mecânica quântica oferece uma ampla gama de operadores que podem ser usados para descrever uma variedade de sistemas quânticos complexos.
Interpretação probabilística da observação de estado
A interpretação probabilística da mecânica quântica é uma das principais abordagens para entender o comportamento das partículas subatômicas. Ela se baseia na ideia de que as propriedades físicas das partículas são descritas por funções matemáticas chamadas de funções de onda.
A função de onda é uma expressão matemática que descreve a probabilidade de encontrar uma partícula em um determinado estado. Ela é representada pela letra grega psi (Ψ) e pode ser calculada para qualquer sistema quântico, incluindo átomos, moléculas e partículas subatômicas.
A interpretação probabilística da mecânica quântica afirma que a função de onda descreve a probabilidade de uma partícula estar em uma determinada posição ou ter um determinado momento. Em outras palavras, a função de onda fornece informações sobre a distribuição de probabilidade da posição e momento da partícula.
A relação entre a função de onda e a probabilidade pode ser entendida através da equação de Born, que afirma que a probabilidade de observar uma partícula em um determinado estado é igual ao quadrado do valor absoluto da função de onda. Isso significa que quanto maior o valor absoluto da função de onda, maior é a probabilidade de observar a partícula em um determinado estado.
No entanto, é importante destacar que a interpretação probabilística da mecânica quântica não fornece informações precisas sobre o comportamento individual das partículas. Em vez disso, ela descreve o comportamento de um grande número de partículas em média. Além disso, a interpretação probabilística não explica a origem das propriedades quânticas, como a superposição e o entrelaçamento.
Apesar de suas limitações, a interpretação probabilística da mecânica quântica é amplamente aceita e é usada para fazer previsões precisas em uma variedade de sistemas quânticos. Ela fornece uma compreensão valiosa do comportamento das partículas subatômicas e é uma das bases da física moderna.
2.3 - Medidas e incertezas
São apresentados:
- A medição e as incertezas.
- O conceito de observáveis, que são grandezas físicas mensuráveis na mecânica quântica, e como eles são representados por operadores Hermitianos.
- O processo de medição, mostrando como a mecânica quântica difere da física clássica nesse aspecto.
- Os estados de colapso e o problema da interpretação da mecânica quântica.
- O princípio da incerteza de Heisenberg, que estabelece um limite fundamental na precisão com que duas observáveis podem ser medidas.
- Exemplos de medidas de posição e momento e como a incerteza é expressa em termos matemáticos.
- O papel da entropia na mecânica quântica e a relação entre entropia e informação.
Medição e incertezas
Na mecânica quântica, a medição é um processo fundamental para obter informações sobre o estado de uma partícula. Quando uma partícula é medida, sua função de onda "colapsa" em um estado determinado e a medida resulta em um valor específico para a propriedade observada. No entanto, a natureza probabilística da mecânica quântica implica que as medidas não são completamente precisas e sempre envolvem alguma incerteza.
A incerteza na medição é expressa pelo princípio da incerteza de Heisenberg, que afirma que é impossível medir simultaneamente com precisão arbitrária duas propriedades complementares de uma partícula, como posição e momento, ou energia e tempo. Esse princípio é expresso matematicamente pela desigualdade de Heisenberg, que relaciona a incerteza na medida de uma propriedade com a incerteza na medida de outra propriedade.
A incerteza na medição é causada pela natureza probabilística da mecânica quântica e pela interação entre a partícula e o instrumento de medição. Quanto mais precisa a medida de uma propriedade, maior é a incerteza associada à medida da outra propriedade complementar.
A incerteza também está presente no próprio estado da partícula. Isso ocorre porque a função de onda da partícula descreve a probabilidade de encontrar a partícula em uma determinada posição ou com um determinado momento, mas não fornece informações precisas sobre a posição ou momento da partícula. Portanto, mesmo em um estado bem definido, há sempre alguma incerteza na posição ou momento da partícula.
A mecânica quântica lida com a incerteza de várias maneiras. Uma das principais abordagens é o uso de operadores que descrevem as propriedades da partícula. Esses operadores atuam sobre a função de onda da partícula e fornecem informações precisas sobre as propriedades da partícula em um estado específico. Outra abordagem é o uso de técnicas de teoria da informação quântica para quantificar e manipular a incerteza em sistemas quânticos.
Conceito de observáveis
Na mecânica quântica, um observável é uma grandeza física que pode ser medida experimentalmente, como a posição, o momento, a energia, o spin ou o momento angular de uma partícula. Cada observável é descrito por um operador linear Hermitiano que atua sobre a função de onda da partícula.
O operador linear Hermitiano é uma generalização do conceito de matriz Hermitiana da álgebra linear. Ele é definido como um operador que é igual ao seu adjunto Hermitiano, ou seja, o operador conjugado transposto.
Matematicamente, isso é expresso como:
$A† = A$
onde $A†$ é o adjunto Hermitiano do operador $A$.
Na mecânica quântica, os operadores Hermitianos correspondem aos observáveis, pois eles satisfazem uma propriedade importante: todos os seus autovalores (valores próprios) são reais. Os autovalores dos operadores Hermitianos representam os possíveis resultados de uma medida do observável correspondente. Além disso, os autoestados (vetores próprios) correspondentes aos autovalores formam uma base completa e ortogonal do espaço de Hilbert associado à partícula, permitindo que a função de onda seja expressa como uma combinação linear desses estados.
Por exemplo, a posição e o momento de uma partícula são observáveis representados pelos operadores Hermitianos ^x e ^p, respectivamente.
A função de onda da partícula pode ser escrita como uma combinação linear de seus autoestados correspondentes:
$ψ(x) = ∑n cn ϕn(x_n)$
onde $ϕn(x_n)$ é o autoestado do operador $^x$ correspondente ao autovalor $x_n$ e cn é o coeficiente de expansão da função de onda na base de autoestados. A medida da posição da partícula resulta em um dos autovalores $x_n$, com a probabilidade dada pelo módulo ao quadrado do coeficiente de expansão cn.
Os observáveis são grandezas físicas mensuráveis na mecânica quântica, representados por operadores Hermitianos que atuam sobre a função de onda da partícula. Os autovalores dos observáveis correspondem aos possíveis resultados de uma medida, enquanto os autoestados formam uma base completa e ortogonal do espaço de Hilbert da partícula. A compreensão dos observáveis e dos operadores Hermitianos é fundamental para a formulação e aplicação da mecânica quântica.
Adjunto Hermitiano A† do operador A
Em matemática, um operador linear A em um espaço vetorial complexo pode ter um operador adjunto Hermitiano A†, que é definido como o operador que satisfaz a seguinte propriedade: ⟨Ax,y⟩ = ⟨x,A†y⟩, para todos os vetores v e w do espaço vetorial, onde ⟨ , ⟩ denota o produto interno. Intuitivamente, o adjunto Hermitiano é uma generalização da matriz transposta conjugada no caso de matrizes complexas.
Nesta equação, x e y são vetores do espaço vetorial; ⟨x,y⟩ é o produto escalar entre eles; e A† é o adjunto Hermitiano do operador A. Em outras palavras, o adjunto Hermitiano de um operador A é um operador que, quando aplicado a um vetor y, produz outro vetor que tem um produto escalar idêntico ao produto escalar entre x e A aplicado a y.
O adjunto Hermitiano é uma generalização do conceito de matriz transposta conjugada, que é a transposta da matriz conjugada de uma matriz dada. Para operadores em espaços vetoriais complexos, o adjunto Hermitiano é definido em termos do produto interno complexo e da conjugação complexa. É importante notar que nem todo operador linear tem um adjunto Hermitiano. Quando um operador tem um adjunto Hermitiano, é chamado de operador Hermitiano.
Se um operador A é Hermitiano, então seu adjunto Hermitiano A† é simplesmente o próprio A. Isso ocorre porque para um operador Hermitiano ⟨Av, w⟩ = ⟨v, Aw⟩, para todos os vetores v e w, o que é a mesma relação que definimos para o adjunto Hermitiano.
No entanto, se um operador A não é Hermitiano, então seu adjunto Hermitiano A† pode ser diferente de A. Em geral, A† é definido por meio da equação acima e pode ser encontrado por meio de técnicas matemáticas, como diagonalização ou decomposição em valores singulares.
O adjunto Hermitiano é importante em muitas áreas da matemática e da física, pois possui várias propriedades úteis. Por exemplo, se um operador A é normal (ou seja, comutativo com seu adjunto Hermitiano), então A pode ser diagonalizado por uma transformação unitária. Além disso, o espectro de um operador Hermitiano é real e seus autovalores são ortogonais. Essas propriedades são úteis em várias aplicações, incluindo a mecânica quântica e a teoria de sistemas dinâmicos.
Processo de medição da mecânica quântica
O processo de medição na mecânica quântica é um dos aspectos mais intrigantes e distintivos desta teoria, pois difere fundamentalmente do processo de medição na física clássica. Enquanto na física clássica a medição é vista como uma operação que permite determinar o valor exato de uma grandeza física, na mecânica quântica a medição é vista como uma operação que modifica o estado da partícula que está sendo medida.
De acordo com a mecânica quântica, o estado de uma partícula é descrito por sua função de onda, que pode ser expressa como uma combinação linear de seus autoestados correspondentes. Quando um observável é medido, a função de onda da partícula colapsa instantaneamente para um dos autoestados do operador correspondente, e o resultado da medição é um dos autovalores correspondentes.
Por exemplo, se um elétron estiver em um estado superposto de spin "para cima" e "para baixo", a medição do spin ao longo do eixo z irá fazer com que a função de onda do elétron colapse para um dos autoestados correspondentes ("para cima" ou "para baixo") e o resultado da medição será um dos valores possíveis (+½ ou -½), com a probabilidade dada pelas amplitudes de probabilidade dos autoestados correspondentes.
Esse processo de colapso da função de onda é um dos aspectos mais controversos da mecânica quântica e tem sido objeto de muitos debates filosóficos. Uma das interpretações mais populares é a interpretação de Copenhagen, que afirma que o colapso da função de onda é um processo irreversível e aleatório que ocorre durante a medição, e que a função de onda deve ser vista apenas como uma ferramenta matemática para calcular probabilidades de resultados de medições.
Outras interpretações, como a interpretação de muitos mundos, propõem que o colapso da função de onda não é um processo real, mas sim uma ilusão causada pela interação da partícula com o meio ambiente, e que o universo se divide em múltiplos ramos a cada medição, criando uma realidade paralela para cada possível resultado da medição.
Os estados de colapso e o problema da interpretação
O papel dos estados de colapso está relacionado ao processo de medição na mecânica quântica. Quando um sistema quântico é medido, sua função de onda colapsa para um dos estados de autovalor correspondentes ao observável que está sendo medido. Esses estados são chamados de estados de colapso, pois representam o estado em que o sistema se encontra após a medição.
O problema da interpretação da mecânica quântica está relacionado com o significado ontológico da função de onda. Na mecânica quântica, a função de onda é uma ferramenta matemática que descreve o estado de um sistema quântico e permite calcular as probabilidades de resultados de medições. No entanto, há uma controvérsia sobre se a função de onda representa uma realidade objetiva ou apenas uma descrição subjetiva do conhecimento que temos sobre o sistema.
O problema da interpretação da mecânica quântica é um dos mais intrigantes e controversos da física moderna. Embora a mecânica quântica seja uma das teorias mais bem-sucedidas e precisas da física, sua interpretação ainda é objeto de intensos debates e discussões entre os físicos e filósofos da ciência.
A incerteza e o limite na precisão de duas observáveis
O princípio da incerteza de Heisenberg é um dos pilares da mecânica quântica e estabelece um limite fundamental na precisão com que duas observáveis podem ser medidas simultaneamente. Este princípio foi descoberto pelo físico alemão Werner Heisenberg em 1927 e é um dos conceitos mais fundamentais da física quântica.
O princípio da incerteza de Heisenberg afirma que é impossível medir simultaneamente duas observáveis com uma precisão arbitrária. Em outras palavras, a precisão com que uma observável pode ser medida é inversamente proporcional à precisão com que a outra observável pode ser medida.
O princípio é expresso matematicamente pela relação de incerteza de Heisenberg, que afirma que a incerteza na medida de uma observável A e a incerteza na medida de uma observável B estão relacionadas pela seguinte desigualdade:
ΔA * ΔB ≥ ħ/2
onde ΔA é a incerteza na medida de A, ΔB é a incerteza na medida de B e ħ é a constante de Planck reduzida (que é uma constante fundamental da natureza). Essa relação estabelece um limite fundamental na precisão com que as observáveis podem ser medidas simultaneamente.
Por exemplo, se quisermos medir simultaneamente a posição e a velocidade de uma partícula, a incerteza na medida da posição Δx e a incerteza na medida da velocidade Δp estão relacionadas pela relação de incerteza de Heisenberg:
$Δx * Δp ≥ ħ/2$
Isso significa que, quanto mais precisamente medimos a posição de uma partícula, menos precisamente podemos medir sua velocidade e vice-versa. Esse limite fundamental é uma consequência direta da natureza ondulatória da matéria na mecânica quântica.
O princípio da incerteza de Heisenberg tem implicações importantes na física quântica, incluindo a natureza probabilística das medidas quânticas e a impossibilidade de prever com certeza o comportamento futuro de um sistema quântico. Ele também tem aplicações em diversas áreas da física, incluindo a física de partículas, a física do estado sólido e a física atômica e molecular.
Exemplos de medidas de posição e momento
Um exemplo de medidas de posição e momento pode ser ilustrado com o experimento de fenda dupla, em que elétrons são disparados em direção a uma parede com duas fendas estreitas. Atrás da parede, há um detector que mede a posição e o momento dos elétrons que passam através das fendas.
A medida da posição do elétron é feita pelo detector que registra onde o elétron atinge a tela localizada atrás da parede. A medida do momento do elétron é feita por meio do desvio do elétron ao passar pelas fendas, o que é registrado pelo detector.
De acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg, a medida precisa da posição e do momento de uma partícula não é possível. Se a posição do elétron é medida com alta precisão, a incerteza no momento será grande, e vice-versa.
Matematicamente, a incerteza na medida da posição e do momento de uma partícula é expressa por meio da relação de incerteza de Heisenberg:
Δx * Δp ≥ ħ/2
Onde Δx é a incerteza na medida da posição e Δp é a incerteza na medida do momento. ħ é a constante de Planck reduzida, que tem um valor fixo.
Se a incerteza na medida da posição é muito pequena, então a incerteza na medida do momento é grande. Isso ocorre porque, para medir a posição de uma partícula com alta precisão, é necessário iluminá-la com um feixe de luz com comprimento de onda pequeno. No entanto, essa iluminação com luz também perturba a velocidade do elétron, aumentando a incerteza na medida do momento.
Por outro lado, se a incerteza na medida do momento é muito pequena, então a incerteza na medida da posição é grande. Isso ocorre porque, para medir o momento de uma partícula com alta precisão, é necessário que a partícula se mova através de um campo magnético uniforme. No entanto, esse campo magnético perturba a posição da partícula, aumentando a incerteza na medida da posição.
O papel da entropia na mecânica quântica
A entropia é um conceito fundamental na mecânica quântica, que descreve a medida da desordem ou incerteza em um sistema físico. Na mecânica quântica, a entropia é uma função da densidade de probabilidade do sistema, que descreve a probabilidade de encontrar o sistema em diferentes estados.
A entropia é importante na mecânica quântica porque ela está relacionada à incerteza no estado de um sistema quântico. A mecânica quântica é uma teoria probabilística, em que a medida de um estado quântico pode ser imprevisível ou incerta. A entropia é uma medida dessa incerteza, e quanto maior a entropia de um sistema quântico, maior é a incerteza em relação ao estado do sistema.
Além disso, a entropia também está relacionada à informação em sistemas quânticos. Na mecânica quântica, a informação é uma quantidade física que pode ser medida e manipulada. A entropia é uma medida da quantidade de informação que está faltando para se conhecer completamente o estado quântico de um sistema.
A relação entre entropia e informação é dada pela fórmula de entropia de Shannon:
$H(X) = -k \sum_{i=1}^n p_i \log (p_i)$
onde $H(X)$ é a entropia, i é o estado quântico, n é o número de possibilidades, $k$ é a constante de Boltzmann, $p_i = p(x_i)$ é a probabilidade de um estado quântico específico e $log(p_i)$ é o logaritmo natural de $p_i$.
Procuramos, utilizando uma noção intuitiva, uma quantidade H que forneça a medida de incerteza.
A incerteza probabilística está ligada a quantidade total
Assim temos que H cresce monotonicamente com o aumento do número total n de possibilidades i que o sistema possui.
Quando se tem infinitas possibilidades temos uma incerteza probabilística infinita, assim H passa a ser escrita como H = H(n).
Esta fórmula mostra que a entropia é uma medida direta da informação contida em um sistema quântico, e que quanto mais informações são conhecidas sobre um sistema, menor é sua entropia.
Assim, a entropia é uma medida importante da incerteza e da informação em sistemas quânticos, e sua compreensão é fundamental para a mecânica quântica e para a teoria da informação quântica.
