3 - Modelo do Hidrogênio

Princípios Fundamentais do Modelo de Bohr

Órbitas Estacionárias

Bohr postulou que os elétrons se movem em órbitas circulares ao redor do núcleo sem emitir radiação. Essas órbitas são chamadas de órbitas estacionárias.

Cada órbita tem uma energia específica e quantizada, ou seja, os elétrons só podem ocupar certas órbitas com energias definidas.

Quantização do Momento Angular:

O momento angular ($𝐿$) do elétron é quantizado e dado por:

$𝐿 = 𝑛 \hbar$

Onde $𝑛$ é um número inteiro positivo (número quântico principal) e $\hbar$ é a constante de Planck reduzida ($\hbar = \frac{h}{2 \pi}$).

Raios das Órbitas

O raio da 𝑛-ésima órbita ($𝑟_𝑛$) é dado por:

$𝑟_𝑛 = 𝑛^2 a_0$

Onde $𝑛$ é um número inteiro positivo (número quântico principal) e $a_0$ é o raio de Bohr, aproximadamente $5,29×10^{−11}$ m.

Energia das Órbitas

A energia total ($E_𝑛$) das Órbitas do elétron na 𝑛-ésima órbita é:

$E_𝑛$ = $-\frac{13,6eV}{𝑛^2}$

Onde $13,6 eV$ é a energia do estado fundamental ($𝑛$ = 1), que corresponde à menor energia.

Para qualquer átomo, o estado correspondente à menor energia é o estado fundamental.

Emissão e Absorção de Fótons

Quando um elétron transita entre duas órbitas, ele emite ou absorve um fóton cuja energia ($E$) é igual à diferença de energia entre as duas órbitas.

$E$ = $E_i - E_f$ = $h𝜈$

Onde $E_i$ e $E_1f$ são as energias inicial e final das órbitas, respectivamente, e $𝜈$ é a frequência do fóton emitido ou absorvido.

Derivação e Fórmulas

Quantização do Momento Angular

Bohr sugeriu que o momento angular do elétron é quantizado:

$𝐿 = m_ev𝑟 = 𝑛 \hbar$

Onde $m_e$ é a massa do elétron, $v$ é a velocidade do elétron na órbita, $𝑟$ é o raio da órbita, $𝑛$ é um número inteiro (número quântico principal).

Raio das Órbitas

A força centrípeta necessária para manter o elétron em órbita é fornecida pela força de atração coulombiana entre o elétron e o núcleo:

$𝐿 = \frac{m_e𝑣^2}{𝑟} = \frac{ke^2}{f^2}$​

Onde $𝑘$ é a constante de Coulomb ($𝑘 ≈ 8,99 X 10^9 \frac{Nm^2}{C^2})$ e $𝑒$ é a carga do elétron.

Substituindo $𝑣$ da quantização do momento angular:

$𝑣 = \frac{𝑛 \hbar}{𝑚_𝑒𝑟}$

E substituindo na equação da força centrípeta:

$\frac{𝑚_e(\frac{𝑛 \hbar}{𝑚_𝑒𝑟})^2}{𝑟}$ = $\frac{𝑘𝑒^2}{𝑟^2}$

Simplificando, obtemos o raio das órbitas:

$𝑟_𝑛$ = $\frac{𝑛^2 \hbar^2}{𝑘𝑒^2𝑚_𝑒}$ = $𝑛^2𝑎_0$

Onde $𝑎_0$ é o raio de Bohr ($𝑎_0$ = $\frac{\hbar^2$}{𝑘𝑒^2𝑚_𝑒}$ = $≈ 5,29 × 10^{-11} m$)

Energia das Órbitas

A energia total do elétron é a soma da energia cinética e da energia potencial eletrostática:

$𝐸_𝑛$ = $\frac{1}{2} 𝑚_𝑒 𝑣^2 - \frac{𝑘 𝑒^2}{𝑟}$

Substituindo $𝑣$ e $𝑟$ das equações anteriores:

$𝐸_𝑛 = \frac{1}{2} 𝑚_𝑒 \frac{𝑛 \hbar}{𝑚_𝑒 𝑟_𝑛} - \frac{𝑘𝑒^2}{𝑟_𝑛}$

Substituindo $𝑟_𝑛$:

$𝐸_𝑛 = \frac{1}{2} 𝑚_𝑒 \frac{𝑛 \hbar}{𝑚_𝑒 𝑛^2 𝑎_0} - \frac{𝑘𝑒^2}{𝑛^2 𝑎_0}$

Simplificando:

$𝐸_𝑛$ = $\frac{𝑘𝑒^2}{𝑛^2 2 𝑎_0}$ = $\frac{13,6 eV}{𝑛^2}$

Aplicações e Limitações

O modelo de Bohr foi bem-sucedido em explicar:

• O espectro de emissão do átomo de hidrogênio.
• A série de Balmer, descrevendo as linhas espectrais visíveis do hidrogênio.

Limitações:

• Não pode ser aplicado a átomos com mais de um elétron.
• Não explica os detalhes finos observados nos espectros atômicos.
• Não incorpora os princípios da mecânica quântica desenvolvidos posteriormente.

Apesar dessas limitações, o modelo de Bohr foi um passo crucial na compreensão da estrutura atômica e pavimentou o caminho para o desenvolvimento da mecânica quântica.

O Modelo de Schrödinger para o átomo de hidrogênio representa um avanço significativo na teoria quântica e oferece uma descrição mais completa e precisa do comportamento dos elétrons.

Princípios Fundamentais do Modelo de Schrödinger

Função de Onda ($\psi$)

No modelo de Schrödinger, o estado de um elétron em um átomo é descrito por uma função de onda $\psi(𝑟,𝑡)$, onde $𝑟$ é a posição e $𝑡$ é o tempo.

A função de onda contém toda a informação sobre o sistema e a densidade de probabilidade de encontrar o elétron em uma determinada posição é dada por $∣\psi(𝑟,𝑡)∣^2$.

Equação de Schrödinger

A equação de Schrödinger é uma equação diferencial que descreve como a função de onda evolui ao longo do tempo:

$𝑖 \hbar \frac{\partial \psi(𝑟,t)}{\partial t} = \hat{H} \psi(𝑟,𝑡)$

Onde $𝑖$ é ..., $\hbar$ é a constante reduzida de Planck, $𝑟$ é a posição e $𝑡$ é o tempo.

Para estados estacionários (energia constante), a equação de Schrödinger independente do tempo é usada:

$\hat{H} \psi(𝑟)=E\psi(𝑟)$

Onde $\hat{H}$ é o operador Hamiltoniano, $E$ é a energia e $𝑟$ é a posição.

O operador Hamiltoniano ($\hat{H}$) para um elétron em um campo coulombiano (núcleo de hidrogênio) é uma funcional de onda ($\psi$) que pode ser escrita como:

$\hat{H} = \frac{\hbar^2}{2𝑚_𝑒} \nabla^2 - \frac{𝑒^2}{4\pi\epsilon_0 𝑟}$

Onde $\hat{H}$ é o operador Hamiltoniano, $𝑚_𝑒$ é a massa do elétron, $\hbar$ é a constante de Planck, $\nabla$ é o operador laplaciano, $𝑒$ é a carga do elétron, $\epsilon_0$ é a permissividade do vácuo e $𝑟$ é a distância ao núcleo.

Orbitais Atômicos

As soluções da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio são chamadas de orbitais atômicos.

Cada orbital é descrito por três números quânticos: $𝑛$ (número quântico principal), $𝑙$ (número quântico azimutal) e $𝑚_𝑙$ (número quântico magnético).

A energia dos orbitais depende apenas de $𝑛$, enquanto a forma dos orbitais depende de $𝑙$ e $𝑚_𝑙$.

Solução da Equação de Schrödinger para o Átomo de Hidrogênio

A solução da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio envolve separar a equação nas coordenadas esféricas ($𝑟$, $𝜃$ e $𝜙$):

$\psi(𝑟,𝜃,𝜙)$ = $R(𝑟)Y(𝜃,𝜙)$

Parte Radial R(𝑟)

A equação radial depende de

$R_{𝑛𝑙}(𝑟)$ = $\sqrt{\frac{2𝑍}{𝑛 𝑎_0}^{3} \frac{(𝑛-l-1)!}{2n[(𝑛+l)!]}} \frac{2Zr}{𝑛 𝑎_0} ^l e^{-\frac{Zr}{𝑛 𝑎_0}} L_{𝑛-l-1}^{2l+1} \left ( \frac{2Zr}{𝑛 𝑎_0} \right )$

Onde $𝐿$ são os polinômios associados de Laguerre, $𝑎_0$ é o raio de Bohr e $𝑍$ é o número atômico (para hidrogênio, $𝑍=1$).

Parte Angular Y(𝜃,𝜙)

As funções angulares são os harmônicos esféricos

$Y_{l}^{m_l}(\theta, \phi) = \sqrt{\frac{(2l+1)(l-|m_l|)!}{4\pi(l+|m_l|)!}} P_{l}^{|m_l|}(\cos\theta) e^{im_l \phi}$

Onde $𝑃$ são os polinômios associados de Legendre.

Números Quânticos

Número Quântico Principal ($𝑛$)

Determina a energia do elétron e o tamanho do orbital.

$𝑛$ é um número inteiro positivo ($𝑛=1,2,3,…$).

Número Quântico Azimutal ($𝑙$)

Determina o momento angular do elétron e a forma do orbital.

$𝑙$ varia de $0$ a $𝑛-1$.

Número Quântico Magnético ($𝑚_𝑙$)

Determina a orientação do orbital no espaço.

$𝑚_𝑙$ varia de $0$ a $𝑙−l$ a $𝑙−+1$.

A energia dos orbitais para o átomo de hidrogênio é dada por:

$𝐸_𝑛$ = $\frac{−13,6eV}{𝑛^2}$

Orbitais Atômicos

Os orbitais atômicos são classificados com base nos valores de $𝑛$, $𝑙$ e $𝑚_𝑙$.

Orbitais $𝑠$ ($𝑙=0$)

Esféricos e não direcionais.

Exemplo: $1𝑠$, $2𝑠$, $3𝑠$.

Orbitais $𝑝$ ($𝑙=1$)

Formato de halteres, direcionais.

Exemplo: $2𝑝_𝑥$, $2𝑝_𝑦$, $2𝑝_𝑧$.

Orbitais $𝑑$ ($𝑙=2$)

Formas mais complexas, como trevos de quatro folhas.

Exemplo: $3𝑑_𝑥𝑦$, $3 𝑑_𝑥𝑧$, $3𝑑_𝑦𝑧$, $3𝑑_{𝑧^2}$, $3𝑑_{𝑥^2𝑧^𝑦}$.

Orbitais $f$ ($𝑙=3$)

Formas mais complexas, como trevos duplos de quatro folhas.

Exemplo: $4f_{𝑧^2}$, $4f_{𝑥𝑧^2}$, $4f_𝑥𝑦𝑧$, $4f_{𝑥(𝑥^3-𝑦^2)}$, $4f_{𝑦𝑧^2}$, $4f_{𝑧(𝑥^2-𝑦^2)}$, $4f_{𝑦(3𝑥^2-𝑦^2)}$.

Conclusão

O modelo de Schrödinger para o átomo de hidrogênio introduziu uma descrição probabilística do comportamento do elétron, em contraste com o modelo de órbitas fixas de Bohr.

As funções de onda $\psi$ fornecem informações detalhadas sobre as probabilidades de localização do elétron, permitindo uma compreensão mais profunda da estrutura atômica e pavimentando o caminho para o desenvolvimento da química quântica e da física de partículas.