Estatistica Avançada
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7 - Séries Temporais

7.1 Modelos autoregressivos (AR) e de médias móveis (MA)

7.2 Modelos ARMA e ARIMA

7.3 Modelos de séries temporais multivariadas

7.4 Modelos de componentes sazonais

7.5 Previsão e diagnóstico em séries temporais

Agora mergulharemos no fascinante campo das séries temporais.

As séries temporais são conjuntos de observações ordenadas no tempo, em que cada observação está associada a uma determinada marca temporal.

Esses dados são amplamente encontrados em diversos campos, como finanças, economia, meteorologia, saúde e muitos outros, e apresentam uma estrutura única e desafiadora.

Serão apresentados:

  • Modelos autoregressivos (AR) e de médias móveis (MA): esses modelos são fundamentais para a compreensão das séries temporais, pois capturam a dependência serial entre as observações ao longo do tempo. Discutiremos os conceitos de autocorrelação e autocorrelação parcial, que são ferramentas essenciais para a identificação desses modelos e para o diagnóstico de sua adequação aos dados.
  • Análise com os modelos ARMA e ARIMA: esses modelos combinam as características dos modelos autoregressivos e de médias móveis, permitindo modelar séries temporais mais complexas. Abordaremos os princípios de identificação, estimativa e diagnóstico desses modelos, bem como técnicas de seleção de ordem e critérios de informação para escolher o modelo mais adequado.
  • Modelos de séries temporais multivariadas: nesse caso, analisaremos séries temporais com mais de uma variável observada simultaneamente. Exploraremos técnicas como o modelo de vetor autorregressivo (VAR) e o modelo de vetor autorregressivo de média móvel (VARMA), que permitem modelar as interações entre as variáveis ao longo do tempo.
  • Modelos de componentes sazonais: muitas séries temporais exibem padrões sazonais, que se repetem em intervalos regulares. Abordaremos métodos para identificar, modelar e remover componentes sazonais, permitindo uma melhor compreensão da variação temporal.
  • Previsão e diagnóstico em séries temporais: Exploraremos técnicas de previsão, como a suavização exponencial e a modelagem ARIMA, que nos permitem fazer projeções futuras com base nas informações passadas. Além disso, discutiremos métodos de diagnóstico para avaliar a adequação dos modelos às séries temporais e para identificar possíveis violações dos pressupostos.

Ao explorar esses tópicos, você desenvolverá uma compreensão sólida dos modelos e técnicas utilizados na análise de séries temporais, ficando apto a modelar, prever e interpretar séries temporais complexas, contribuindo para a tomada de decisões informadas em áreas que dependem do entendimento das tendências, padrões e comportamentos ao longo do tempo.

A análise de séries temporais é uma ferramenta poderosa para explorar a dinâmica temporal dos dados e fornecer insights valiosos para uma ampla gama de aplicações práticas.

7.1 - Modelos autoregressivos (AR) e de médias móveis (MA)

Os modelos autoregressivos (AR) e de médias móveis (MA) são duas classes de modelos estatísticos amplamente utilizados na análise de séries temporais.

São fundamentais na análise de séries temporais, pois capturam a dependência serial presente nos dados, ou seja, a relação entre as observações ao longo do tempo, passadas e futuras.

São utilizados para descrever a dependência e estrutura de autocorrelação presente em séries temporais, ou seja, em conjuntos de dados onde a ordem das observações é importante e há uma relação temporal entre elas.

Os modelos autoregressivos, denotados como AR(p), são baseados na ideia de que cada valor da série temporal é uma combinação linear dos p valores anteriores, onde p representa a ordem do modelo.

Esses modelos levam em consideração a autocorrelação presente nos dados, permitindo a previsão de valores futuros com base em valores passados.

Por outro lado, os modelos de médias móveis, denotados como MA(q), consideram que cada valor da série temporal é uma combinação linear dos q erros de médias móveis, que são os resíduos obtidos a partir de médias móveis dos q valores anteriores da série.

Esses modelos são eficazes para capturar a média móvel da série e remover componentes de variação aleatória.

A combinação dos modelos AR e MA resulta nos modelos autoregressivos de médias móveis (ARMA), que são capazes de capturar tanto a dependência serial quanto a média móvel da série temporal.

Esses modelos são expressos como ARMA(p, q), onde p representa a ordem do modelo autoregressivo e q representa a ordem do modelo de médias móveis.

Além disso, vamos explorar os modelos ARIMA, que são uma extensão dos modelos ARMA.

O modelo ARIMA (p, d, q) incorpora um termo de diferenciação (d) para lidar com tendências e/ou sazonalidade presentes na série temporal.

A diferenciação é aplicada para tornar a série estacionária, ou seja, para remover as tendências sistemáticas.

Ao compreender e aplicar os modelos autoregressivos e de médias móveis, você será capaz de identificar e modelar a dependência serial em séries temporais, fazer previsões de curto prazo e entender melhor os padrões e comportamentos presentes nos dados ao longo do tempo.

Esses modelos são amplamente utilizados em diversas áreas, como previsão de demanda, análise financeira, previsão meteorológica, entre outras, proporcionando insights valiosos para a tomada de decisões informadas.

7.1.1 - Modelos Autoregressivos (AR)

Os modelos autoregressivos (AR) são um tipo de modelo estatístico usado para modelar séries temporais, onde a variável de interesse é regredida em termos de seus próprios valores anteriores, sendo usados para descrever a relação entre uma observação e seus valores anteriores.

Em um modelo AR, a variável dependente é regressada em termos de seus próprios valores passados.

Esses modelos são amplamente utilizados para descrever a dependência temporal em dados sequenciais, capturando padrões de autocorrelação e permitindo fazer previsões futuras.

A ideia principal por trás dos modelos AR é que o valor atual da variável dependente é uma combinação linear dos seus valores passados, com a adição de um termo de erro.

A ordem do modelo AR, denotada por "p", indica o número de valores anteriores a serem considerados na regressão.

A forma geral de um modelo AR(p) é dada pela equação:

$Y_t = c + φ₁Y_{t-1} + φ₂Y_{t-2} + ... + φ_pY_{t-p} + ε_t$

Onde:

  • $Y_t$ é a variável dependente no tempo "t".
  • $c$ é uma constante.
  • $φ₁, φ₂, ..., φ_p$ são os coeficientes do modelo AR que representam o efeito dos valores anteriores.
  • $Y_{t-1}, Y_{t-2}, ..., Y_{t-p}$ são os valores anteriores da variável dependente.
  • $ε_t$ é o termo de erro no tempo "t".

Para estimar os parâmetros do modelo AR, é comum utilizar o método de mínimos quadrados ou o método de máxima verossimilhança. A escolha do método depende das suposições feitas sobre a distribuição dos erros.

Uma vez estimados os parâmetros do modelo AR, é possível utilizá-lo para fazer previsões futuras. Para isso, os valores anteriores da variável dependente são conhecidos e utilizados para gerar previsões dos próximos valores.

Os modelos AR são adequados para séries temporais com padrões de autocorrelação significativos, ou seja, quando os valores passados têm influência sobre os valores futuros. Esses modelos são amplamente aplicados em diversas áreas, como finanças, economia, meteorologia, entre outras, para análise e previsão de séries temporais.

É importante ressaltar que existem técnicas mais avançadas, como os modelos ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average), que combinam os modelos AR com os modelos de médias móveis (MA) e também levam em consideração a diferenciação da série para melhor capturar a tendência e a sazonalidade dos dados.

Para ajustar um modelo autoregressivo (AR) em Python, você pode utilizar a biblioteca statsmodels. Abaixo está um exemplo de código para ajustar um modelo AR usando o pacote statsmodels: 

import pandas as pd
import statsmodels.api as sm

# Dados
data = {
    'id': [1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4],
    'variavel_dependente': [12.3, 15.6, 13.2, 10.5, 11.8, 12.9, 9.7, 10.1, 9.5, 14.2, 15.9, 14.8],
    'tempo': ['T1', 'T2', 'T3', 'T1', 'T2', 'T3', 'T1', 'T2', 'T3', 'T1', 'T2', 'T3'],
    'tratamento': ['A', 'A', 'A', 'A', 'A', 'A', 'B', 'B', 'B', 'B', 'B', 'B']
}

# Criação do DataFrame
df = pd.DataFrame(data)

# Ajustar o modelo AR
model = sm.tsa.AutoReg(df['variavel_dependente'],1)
result = model.fit()

# Visualizar os resultados
print(result.summary())

Certifique-se de substituir "dados.csv" pelo caminho correto para o arquivo contendo seus dados. Neste exemplo, o modelo AR é ajustado usando a variável "variavel_dependente". A função sm.tsa.AR() é utilizada para criar uma instância do modelo AR, e o método fit() é aplicado para ajustar o modelo aos dados.

O método result.summary() exibe os resultados do modelo, incluindo os coeficientes estimados, estatísticas de teste, valores-p e outras informações relevantes.

7.1.2 - Modelos de Médias Móveis (MA)

Os modelos de médias móveis são usados para descrever a relação entre uma observação e os erros de previsão passados.

Em um modelo MA, a variável dependente é regressada em termos dos erros de previsão passados.

Assim como nos modelos AR, a estimação dos parâmetros em um modelo MA é geralmente feita usando métodos de mínimos quadrados ou máxima verossimilhança.

É importante destacar que os modelos AR e MA podem ser combinados para formar modelos mais complexos, conhecidos como modelos ARMA (Autoregressive Moving Average), que incorporam tanto a dependência dos valores anteriores quanto a dependência dos erros de previsão passados.

Esses modelos são amplamente utilizados na análise de séries temporais para modelar e prever padrões de autocorrelação e dependência temporal nos dados. A escolha do modelo apropriado depende da natureza dos dados e das características da série temporal em análise.

Os modelos de médias móveis (MA) são um tipo de modelo estatístico usado para modelar séries temporais. Eles são amplamente utilizados para capturar a dependência temporal nos dados e fazer previsões.

Ao contrário dos modelos autoregressivos (AR), que se baseiam nos valores anteriores da variável dependente, os modelos de médias móveis (MA) se baseiam nos termos de erro anteriores. A ideia principal é que o valor atual da variável dependente é uma combinação linear dos termos de erro passados, com a adição de um termo de erro atual.

A forma geral de um modelo MA(q) é dada pela equação:

$Y_t = μ + ε_t + θ₁ε_{t-1} + θ₂ε_{t-2} + ... + θ_qε_{t-q}$

Onde:

  • $Y_t$ é a variável dependente no tempo "t".
  • $μ$ é a média da série temporal.
  • $ε_t$ é o termo de erro no tempo "t".
  • $θ₁, θ₂, ..., θ_q$ são os coeficientes do modelo MA que representam o efeito dos termos de erro passados.
  • $ε_{t-1}, ε_{t-2}, ..., ε_{t-q}$ são os termos de erro anteriores.

Assim como nos modelos AR, os parâmetros do modelo MA podem ser estimados utilizando o método de mínimos quadrados ou o método de máxima verossimilhança, dependendo das suposições feitas sobre a distribuição dos erros.

Uma vez estimados os parâmetros do modelo MA, eles podem ser utilizados para fazer previsões futuras. No entanto, ao contrário dos modelos AR, as previsões futuras nos modelos MA não dependem dos valores anteriores da variável dependente, mas sim dos termos de erro anteriores.

Os modelos de médias móveis (MA) são úteis paxra capturar padrões de autocorrelação em séries temporais e podem ser combinados com modelos autoregressivos (AR) para formar os modelos ARMA (Autoregressive Moving Average), que são mais flexíveis e poderosos na modelagem de séries temporais complexas.

É importante destacar que, assim como os modelos AR, existem também modelos mais avançados, como os modelos ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average), que incorporam a diferenciação da série para capturar a tendência e a sazonalidade dos dados.

Abaixo está um exemplo de código para ajustar um modelo MA usando o pacote statsmodels: 

import pandas as pd
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA

# Dados
data = {
    'id': [1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4],
    'variavel_dependente': [12.3, 15.6, 13.2, 10.5, 11.8, 12.9, 9.7, 10.1, 9.5, 14.2, 15.9, 14.8],
    'tempo': ['T1', 'T2', 'T3', 'T1', 'T2', 'T3', 'T1', 'T2', 'T3', 'T1', 'T2', 'T3'],
    'tratamento': ['A', 'A', 'A', 'A', 'A', 'A', 'B', 'B', 'B', 'B', 'B', 'B']
}

# Ajustar o modelo MA
model = ARIMA(data['variavel_dependente'], order=(0, 1, 0))
result = model.fit()

# Visualizar os resultados
print(result.summary())

Certifique-se de substituir "dados.csv" pelo caminho correto para o arquivo contendo seus dados. Neste exemplo, o modelo MA é ajustado usando a variável "variavel_dependente".

A função sm.tsa.ARMA() é utilizada para criar uma instância do modelo MA, e o método fit() é aplicado para ajustar o modelo aos dados.

O parâmetro order=(0, 1) indica que estamos ajustando um modelo MA de ordem 1. Você pode ajustar o modelo para diferentes ordens, dependendo das características dos seus dados.

O método result.summary() exibe os resultados do modelo, incluindo os coeficientes estimados, estatísticas de teste, valores-p e outras informações relevantes.

7.2 - Modelos ARMA e ARIMA

Os modelos ARMA (autoregressivo de médias móveis) e ARIMA (autoregressivo integrado de médias móveis) são amplamente utilizados na análise e previsão de séries temporais.

Os modelos ARMA são uma combinação dos modelos autoregressivos (AR) e de médias móveis (MA).

Eles capturam a dependência serial presente nos dados por meio das autocorrelações passadas e dos erros de médias móveis.

Um modelo ARMA é especificado pela ordem dos termos autoregressivos (p) e dos termos de médias móveis (q), representado como ARMA(p, q).

No entanto, muitas séries temporais apresentam tendências e/ou padrões sazonais que não são capturados pelos modelos ARMA.

Para lidar com essas situações, recorremos aos modelos ARIMA.

O modelo ARIMA (autoregressivo integrado de médias móveis) adiciona um termo de diferenciação (d) aos modelos ARMA.

A diferenciação é aplicada para tornar a série temporal estacionária, removendo assim as tendências e padrões sazonais.

Portanto, o modelo ARIMA é especificado pela ordem dos termos autoregressivos (p), diferenciação (d) e termos de médias móveis (q), representado como ARIMA(p, d, q).

Esses modelos são amplamente utilizados para análise, previsão e modelagem de séries temporais em diversas áreas, como finanças, economia, demografia, meteorologia, entre outras.

Eles permitem entender melhor os padrões temporais dos dados, fazer previsões de curto prazo e realizar análises de impacto de eventos ou intervenções.

Ao dominar os modelos ARMA e ARIMA, você terá ferramentas poderosas para modelar e prever séries temporais com maior precisão, auxiliando na tomada de decisões informadas e no planejamento estratégico.

7.2.1 - Modelos ARMA

Os modelos ARMA (Autoregressive Moving Average) são uma classe de modelos estatísticos utilizados para modelar séries temporais.

Esses modelos combinam os componentes autoregressivos (AR) e de médias móveis (MA) em uma única estrutura.

Um modelo ARMA(p, q) é caracterizado pela combinação de p termos autoregressivos e q termos de médias móveis.

A equação geral de um modelo ARMA(p, q) é dada por:

$Y_t = c + ϕ₁Y_{t-1} + ϕ₂Y_{t-2} + ... + ϕ_pY_{t-p} + ε_t + θ₁ε_{t-1} + θ₂ε_{t-2} + ... + θ_qε_{t-q}$

Onde:

  • $Y_t$ é a variável dependente no tempo "t".
  • $c$ é uma constante.
  • $ϕ₁, ϕ₂, ..., ϕ_p$ são os coeficientes autoregressivos que representam o efeito dos valores anteriores da variável dependente.
  • $Y_{t-1}, Y_{t-2}, ..., Y_{t-p}$ são os valores anteriores da variável dependente.
  • $ε_t$ é o termo de erro no tempo "t".
  • $θ₁, θ₂, ..., θ_q$ são os coeficientes de médias móveis que representam o efeito dos termos de erro passados.
  • $ε_{t-1}, ε_{t-2}, ..., ε_{t-q}$ são os termos de erro anteriores.

O objetivo da estimação em um modelo ARMA é encontrar os valores adequados para os coeficientes autoregressivos (ϕ₁, ϕ₂, ..., ϕ_p) e de médias móveis (θ₁, θ₂, ..., θ_q), bem como a constante (c), por meio de técnicas como o método de mínimos quadrados ou o método de máxima verossimilhança.

Os modelos ARMA são úteis para modelar séries temporais que exibem tanto autocorrelação (AR) quanto médias móveis (MA). Eles são amplamente utilizados em previsão de séries temporais, pois podem capturar padrões complexos de autocorrelação e tendências.

É importante ressaltar que, em algumas situações, os modelos ARMA podem não ser suficientes para modelar adequadamente a série temporal. Nesses casos, modelos mais avançados, como os modelos ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average), podem ser mais apropriados, pois incorporam a diferenciação da série para capturar tendências e sazonalidades.

7.2.2 - Modelos ARIMA

Os modelos ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) são uma classe de modelos estatísticos amplamente utilizados para modelar e prever séries temporais.

Esses modelos combinam os componentes autoregressivos (AR), de médias móveis (MA) e de diferenciação (I) em uma única estrutura.

A sigla ARIMA é uma abreviação dos termos em inglês:

  • AR: Autoregressive (autoregressivo) - refere-se à dependência da série temporal em relação aos seus próprios valores anteriores. Nesse componente, o valor atual da série é modelado como uma combinação linear dos valores anteriores.
  • I: Integrated (integrado) - refere-se ao processo de diferenciação da série temporal para torná-la estacionária. A diferenciação é o cálculo da diferença entre os valores consecutivos da série.
  • MA: Moving Average (média móvel) - refere-se ao uso de erros passados da série para modelar o valor atual. Nesse componente, o valor atual da série é modelado como uma combinação linear dos termos de erro anteriores.

A representação geral de um modelo ARIMA é ARIMA(p, d, q), onde:

  • p é a ordem do componente autoregressivo (AR), que representa o número de termos autoregressivos a serem incluídos no modelo.
  • d é a ordem de diferenciação (I), que representa o número de vezes que a série deve ser diferenciada para se tornar estacionária.
  • q é a ordem do componente de médias móveis (MA), que representa o número de termos de médias móveis a serem incluídos no modelo.

A equação geral de um modelo ARIMA(p, d, q) é dada por:

$Y_t = c + ϕ₁Y_{t-1} + ϕ₂Y_{t-2} + ... + ϕ_pY_{t-p} + ε_t + θ₁ε_{t-1} + θ₂ε_{t-2} + ... + θ_qε_{t-q}$

Onde:

  • $Y_t$ é a variável dependente no tempo "t".
  • $c$ é uma constante.zz
  • $ϕ₁, ϕ₂, ..., ϕ_p$ são os coeficientes autoregressivos que representam o efeito dos valores anteriores da variável dependente.
  • $Y_{t-1}, Y_{t-2}, ..., Y_{t-p}$ são os valores anteriores da variável dependente.
  • $ε_t$ é o termo de erro no tempo "t".
  • $θ₁, θ₂, ..., θ_q$ são os coeficientes de médias móveis que representam o efeito dos termos de erro passados.
  • $ε_{t-1}, ε_{t-2}, ..., ε_{t-q}$ são os termos de erro anteriores.

A estimação dos parâmetros em um modelo ARIMA pode ser feita por meio de técnicas como o método de mínimos quadrados ou o método de máxima verossimilhança.

A seleção adequada das ordens p, d e q é um desafio importante na modelagem de séries temporais e geralmente envolve a análise de autocorrelação, autocorrelação parcial e critérios de informação.

Os modelos ARIMA são amplamente utilizados para análise e previsão de séries temporais, permitindo capturar tendências, sazonalidades e padrões de autocorrelação complexos.

Esses modelos são aplicados em diversas áreas, como economia, finanças, demografia, meteorologia e muitas outras.

7.3 - Modelos de séries temporais multivariadas

Os modelos de séries temporais multivariadas são uma extensão dos modelos de séries temporais univariadas para o caso em que temos mais de uma variável dependente, sendo utilizados quando temos mais de uma variável observada ao longo do tempo e as variáveis ​​dependentes estão inter-relacionadas e podem ser influenciadas por fatores comuns.

Enquanto os modelos univariados lidam com uma única série temporal, os modelos multivariados consideram a interdependência e a dinâmica entre várias séries temporais.

Os modelos de séries temporais multivariadas são úteis quando as variáveis estão correlacionadas e influenciam umas às outras ao longo do tempo, permitendo capturar as relações complexas entre as variáveis e fornecem uma visão mais abrangente do comportamento temporal dos dados.

Esses modelos consideram as autocorrelações passadas e as interações entre as variáveis para modelar as séries temporais de forma conjunta.

Existem diferentes tipos de modelos de séries temporais multivariadas, cada um com suas características específicas.

Alguns dos principais modelos são:

  • Modelo Vetorial Autoregressivo (VAR): O modelo VAR é um dos modelos mais comuns para séries temporais multivariadas. Ele estende o conceito de modelo autoregressivo (AR) para múltiplas variáveis. No VAR, cada variável dependente é regredida em seus próprios valores defasados, bem como nos valores defasados das outras variáveis. Essa abordagem permite capturar as interações entre as variáveis e modelar as dinâmicas conjuntas.
  • Modelo de médias móveis vetoriais (VMA): O modelo VMA estende o conceito de modelo de média (MA) para as variáveis. Ele combina os componentes de média (MA) e autoregressão (AR) para modelar as dependências das variáveis.
  • Modelo de Vetor Autorregressivo de Médias Móveis (VARMA): O modelo VARMA combina os componentes de autorregressão (AR) e média móvel (MA). Ele permite modelar a dependência das variáveis ​​ao longo do tempo, levando em consideração tanto os valores defasados das próprias variáveis quanto os termos de erro passados.
  • Modelo de Vetor Autorregressivo de Médias Móveis Integradas (VARIMA): O modelo VARIMA estende o VARMA ao incorporar o componente de diferenciação (I), que é usado para tornar as séries temporais estacionárias. A diferenciação é aplicada a cada variável individualmente antes da modelagem VARMA, e o modelo VARIMA é estimado nas séries diferenciadas.
  • Modelo de Correção de Erros (VEC): O modelo VEC é uma extensão do VAR que permite modelar séries temporais que possuem uma relação de longo prazo, chamada de cointegração. Ele captura tanto as dinâmicas de curto prazo, representadas pelo VAR, quanto a relação de equilíbrio de longo prazo entre as variáveis. O modelo VEC é particularmente útil quando as variáveis ​​são não estacionárias, mas possuem uma combinação linear estável.

Além desses modelos, existem outras abordagens para análise de séries temporais multivariadas, como modelos de espaço de estados, modelos de séries temporais hierárquicas e modelos de redes neurais, entre outros.

A seleção do modelo adequado depende da natureza dos dados e dos objetivos da análise.

É importante realizar uma análise exploratória dos dados, identificar a presença de autocorrelação, sazonalidade e outros padrões, e escolher o modelo que melhor capture essas características.

Ao aplicar modelos de séries temporais multivariadas, podemos analisar a dinâmica conjunta das variáveis, fazer previsões conjuntas e realizar análises de causalidade entre as séries.

Essa abordagem é especialmente relevante em áreas como econometria, finanças, análise de mercado, ciências sociais e meteorologia, onde as variáveis geralmente estão inter-relacionadas e afetam umas às outras.

Dominar os modelos de séries temporais multivariadas permite uma compreensão mais profunda do comportamento das séries temporais, bem como uma melhor capacidade de prever e tomar decisões informadas em um contexto multivariado.

7.3.1 - Modelo Vetorial Autoregressivo (VAR)

O Modelo Vetorial Autoregressivo (VAR) é um tipo de modelo de séries temporais multivariadas que estende o conceito de Modelo Autoregressivo (AR) para o caso em que temos mais de uma variável dependente.

O VAR é uma abordagem amplamente utilizada para analisar a interdependência e as relações dinâmicas entre várias séries temporais.

No VAR, cada variável dependente é modelada como uma função linear dos seus próprios valores defasados e dos valores defasados das outras variáveis no sistema.

A ordem do modelo VAR, denotada por p, determina quantos períodos anteriores são considerados para modelar cada variável.

A forma geral de um modelo VAR(p) com k variáveis dependentes pode ser expressa da seguinte forma:

$Y_t = c + A_1 * Y_{t-1} + A_2 * Y_{t-2} + ... + A_p * Y_{t-p} + e_t$

Onde:

  • $Y_t$ é um vetor k-dimensional que representa as variáveis dependentes no tempo t.
  • $c$ é um vetor de constantes.
  • $A_1, A_2, ..., A_p$ são matrizes de coeficientes que capturam as relações de curto prazo entre as variáveis.
  • $Y_{t-1}, Y_{t-2}, ..., Y_{t-p}$ são os valores defasados das variáveis.
  • $e_t$ é o vetor de resíduos que captura o ruído aleatório não explicado pelo modelo.

A estimação do modelo VAR envolve a obtenção dos coeficientes $_1, A_2, ..., A_p$ e a matriz de constantes $c$. Isso geralmente é feito usando métodos de estimação de máxima verossimilhança (EMV) ou mínimos quadrados ordinários (MQO).

Uma vez estimado o modelo VAR, várias análises podem ser realizadas, incluindo:

  • Análise de causalidade: O modelo VAR permite investigar as relações de causalidade entre as variáveis. Isso é feito por meio da análise dos coeficientes do modelo e seus respectivos intervalos de confiança.
  • Previsão: O modelo VAR pode ser usado para fazer previsões de curto prazo das variáveis dependentes com base em seus próprios valores defasados e nos valores defasados das outras variáveis.
  • Impulso-resposta: O modelo VAR também permite analisar os efeitos de choques ou perturbações nas variáveis ao longo do tempo. A análise de impulso-resposta mostra como as variáveis respondem a um choque em uma ou mais variáveis do sistema.

O modelo VAR é amplamente utilizado em várias áreas, como economia, finanças, ciências sociais e climatologia, para analisar a dinâmica e as interações entre as séries temporais. Sua flexibilidade e capacidade de capturar relações complexas entre variáveis o tornam uma ferramenta poderosa na análise de séries temporais multivariadas.

Aqui está o código atualizado para ajustar um Modelo Vetorial Autoregressivo (VAR) usando um dataframe diretamente: 

import pandas as pd
import numpy as np
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.tsa.vector_ar.var_model import VAR
from statsmodels.stats.outliers_influence import variance_inflation_factor

# Criar um dataframe com os dados
data = pd.DataFrame({
    'data': ['2022-01-01', '2022-01-02', '2022-01-03'],
    'variavel1': [1.0, 2.0, 3.0],
    'variavel2': [4.0, 5.0, 6.0],
    'variavel3': [7.0, 8.0, 9.0]
})

# Preparar os dados
data.set_index('data', inplace=True)
data = data.astype(float)

# Adicionar um pequeno ruído para evitar colinearidade perfeita
noise = np.random.normal(0.1, 0.9, data.shape)
data += noise

# Verificar a multicolinearidade
vif_data = pd.DataFrame()
vif_data["feature"] = data.columns
vif_data["VIF"] = [variance_inflation_factor(data.values, i) for i in range(data.shape[1])]

print(vif_data)

# Ajustar o modelo VAR
model = VAR(data)
results = model.fit()

# Imprimir os resultados
print(results.summary())

Certifique-se de substituir os dados fictícios pelo seu próprio dataframe, mantendo a estrutura de colunas e os tipos de dados corretos.

Em seguida, o código ajustará o modelo VAR aos seus dados e imprimirá um resumo dos resultados.

Certifique-se de ter a biblioteca statsmodels instalada corretamente em seu ambiente Python.

7.3.2 - Modelo de Vetor Autorregressivo de Médias Móveis (VARMA)

O Modelo de Vetor Autorregressivo de Médias Móveis (VARMA) é uma extensão do Modelo Vetorial Autoregressivo (VAR) que incorpora a componente de médias móveis, além da componente autoregressiva. O VARMA é usado para modelar séries temporais multivariadas em que tanto os valores passados das variáveis quanto os erros passados são considerados para fazer previsões.

Assim como no VAR, o modelo VARMA é composto por um conjunto de equações para cada variável dependente, onde cada equação é uma combinação linear dos valores defasados das variáveis e dos erros defasados. A ordem do modelo VARMA é denotada por (p, q), onde p representa a ordem da componente autoregressiva (AR) e q representa a ordem da componente de médias móveis (MA).

A forma geral de um modelo VARMA(p, q) com k variáveis dependentes pode ser expressa da seguinte forma:

$Y_t = c + A_1 * Y_{t-1} + A_2 * Y_{t-2} + ... + A_p * Y_{t-p} + B_1 * e_{t-1} + B_2 * e_{t-2} + ... + B_q * e_{t-q} + e_t$

Onde:

  • $Y_t$ é um vetor k-dimensional que representa as variáveis dependentes no tempo t.
  • $c$ é um vetor de constantes.
  • $A_1, A_2, ..., A_p$ são matrizes de coeficientes que capturam as relações de curto prazo entre as variáveis (componente AR).
  • $Y_{t-1}, Y_{t-2}, ..., Y_{t-p}$ são os valores defasados das variáveis.
  • $B_1, B_2, ..., B_q$ são matrizes de coeficientes que capturam a influência dos erros defasados nas variáveis (componente MA).
  • $e_t$ é o vetor de resíduos que captura o ruído aleatório não explicado pelo modelo.

A estimação do modelo VARMA envolve a obtenção dos coeficientes $A_1, A_2, ..., A_p, B_1, B_2, ..., B_q$ e a matriz de constantes $c$. Assim como no VAR, a estimação pode ser feita por meio de métodos de estimação de máxima verossimilhança (EMV) ou mínimos quadrados ordinários (MQO).

O modelo VARMA é útil para capturar relações de longo prazo (componente AR) e efeitos transitórios (componente MA) entre as variáveis dependentes. Ele pode ser aplicado em diversas áreas, como economia, finanças, ciências sociais e engenharia, para modelar e prever séries temporais multivariadas.

A análise e interpretação do modelo VARMA envolvem os mesmos conceitos do VAR, como análise de causalidade, previsão e impulso-resposta. Além disso, o VARMA permite capturar efeitos de médias móveis, que são especialmente relevantes quando há dependência temporal nos erros das variáveis.

Aqui está um exemplo de código Python para ajustar um Modelo de Vetor Autorregressivo de Médias Móveis (VARMA) usando a biblioteca statsmodels: 

import pandas as pd
import numpy as np
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.tsa.statespace.varmax import VARMAX

# Criar um dataframe com os dados
data = pd.DataFrame({
    'data': ['2022-01-01', '2022-01-02', '2022-01-03'],
    'variavel1': [1.0, 2.0, 3.0],
    'variavel2': [4.0, 5.0, 6.0],
    'variavel3': [7.0, 8.0, 9.0]
})

# Preparar os dados
data.set_index('data', inplace=True)
data = data.astype(float)

# Ajustar o modelo VARMA
order = (1, 1)  # Ordem do modelo VARMA
model = VARMAX(data, order=order)
results = model.fit()

# Imprimir os resultados
print(results.summary())

Certifique-se de substituir os dados fictícios pelo seu próprio dataframe, mantendo a estrutura de colunas e os tipos de dados corretos.

O código ajustará um modelo VARMA com ordem (1, 1) aos seus dados e imprimirá um resumo dos resultados.

Certifique-se de ter a biblioteca statsmodels instalada corretamente em seu ambiente Python.

7.3.3 - Modelo de Vetor Autorregressivo de Médias Móveis Integradas (VARIMA)

O modelo VARIMA é uma extensão do modelo VARMA que inclui a componente de integração, permitindo modelar séries temporais que possuem tendências ou comportamentos não estacionários.

A principal diferença entre o VARMA e o VARIMA é a adição da componente de integração, que é representada pelo parâmetro "d".

O parâmetro "d" indica o número de vezes que a série precisa ser diferenciada para se tornar estacionária.

Se uma série já for estacionária, "d" será igual a zero.

A forma geral de um modelo VARIMA(p, d, q) com k variáveis dependentes pode ser expressa da seguinte forma:

$(1 - phi_1 * L - phi_2 * L^2 - ... - phi_p * L^p)(1 - L)^d * Y_t = c + (1 + theta_1 * L + theta_2 * L^2 + ... + theta_q * L^q) * e_t$

Onde:

  • $Y_t é um vetor k-dimensional que representa as variáveis dependentes no tempo t.
  • $L$ é o operador de defasagem.
  • $phi_1, phi_2, ..., phi_p$ são os coeficientes da parte autorregressiva (AR) do modelo.
  • $theta_1, theta_2, ..., theta_q$ são os coeficientes da parte de médias móveis (MA) do modelo.
  • $c$ é um vetor de constantes.
  • $d$ é a ordem de integração, indicando o número de vezes que a série precisa ser diferenciada para se tornar estacionária.
  • $e_t$ é um vetor de ruído branco.

A estimação do modelo VARIMA envolve a obtenção dos coeficientes $phi_1, phi_2, ..., phi_p, theta_1, theta_2, ..., theta_q$, a matriz de constantes $c$ e o parâmetro de integração $d$.

Assim como no VARMA, a estimação pode ser realizada por meio de métodos de estimação de máxima verossimilhança (EMV) ou mínimos quadrados ordinários (MQO).

O modelo VARIMA é particularmente útil para modelar e prever séries temporais que apresentam tendências ou comportamentos não estacionários. Ele permite capturar tanto a dependência temporal (componente AR e MA) quanto a evolução ao longo do tempo (componente de integração) nas variáveis dependentes.

Exemplo de código Python para ajuste do Modelo VARIMA usando a biblioteca statsmodels: 

import pandas as pd
import numpy as np
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.tsa.statespace.varmax import VARMAX

# Criar um dataframe com os dados
data = pd.DataFrame({
    'data': ['2022-01-01', '2022-01-02', '2022-01-03'],
    'variavel1': [1.0, 2.0, 3.0],
    'variavel2': [4.0, 5.0, 6.0],
    'variavel3': [7.0, 8.0, 9.0]
})

# Preparar os dados
data.set_index('data', inplace=True)
data = data.astype(float)

# Ajustar o modelo VARIMA
order = (1, 1, 1)  # Ordem do modelo VARIMA
model = VARMAX(data, order=order)
results = model.fit()

# Imprimir os resultados
print(results.summary())

Certifique-se de substituir os dados fictícios pelo seu próprio dataframe, mantendo a estrutura de colunas e os tipos de dados corretos.

O código ajustará um modelo VARIMA com ordem (1, 1, 1) aos seus dados e imprimirá um resumo dos resultados.

7.3.4 - Modelo de Correção de Erro (VEC)

O Modelo de Correção de Erro (VEC - Vector Error Correction Model) é uma extensão do Modelo Vetorial Autorregressivo (VAR) que permite modelar e analisar a relação de longo prazo entre variáveis em uma série temporal, incorporando uma relação de correção de erro que ajusta as variáveis de volta ao seu equilíbrio de longo prazo quando ocorrem desvios.

Assim, o VEC modela tanto a dinâmica de curto prazo (ajustes de curto prazo) quanto a relação de longo prazo entre as variáveis.

O VEC é adequado quando as variáveis estão cointegradas, ou seja, compartilhando uma tendência de longo prazo mesmo que sejam não estacionárias individualmente, sendo usado para capturar os desvios de curto prazo das variáveis em relação ao seu equilíbrio de longo prazo.

A forma geral de um modelo VEC com k variáveis dependentes pode ser expressa da seguinte forma:

$∆Y_t = Γ * ∆Y_{t-1} + Π * Y_{t-1} + ε_t$

Onde:

  • $∆Y_t$ é um vetor k-dimensional que representa as diferenças das variáveis dependentes no tempo t.
  • $Γ$ é uma matriz kxk que contém os coeficientes de curto prazo que capturam os ajustes de curto prazo das variáveis.
  • $Π$ é uma matriz kxk que contém os coeficientes de correção de erro que capturam a relação de longo prazo entre as variáveis.
  • $Y_{t-1}$ é um vetor k-dimensional que representa as variáveis dependentes no tempo t-1.
  • $ε_t$ é um vetor de resíduos que representa o ruído branco do modelo.

A estimação do modelo VEC envolve a obtenção das matrizes $Γ$ e $$. A estimação pode ser realizada por meio de métodos de estimação de máxima verossimilhança (EMV) ou mínimos quadrados ordinários (MQO).

O VEC é útil para análise de séries temporais quando se deseja estudar a dinâmica de curto prazo entre variáveis cointegradas, bem como a forma como elas se ajustam a longo prazo quando ocorrem desvios do equilíbrio. Além disso, o VEC permite realizar previsões de curto prazo e testar hipóteses sobre a relação de longo prazo entre as variáveis.

Aqui está um exemplo de código Python para ajustar um Modelo de Correção de Erro (VEC) usando a biblioteca statsmodels: 

import pandas as pd
import numpy as np
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.tsa.vector_ar.vecm import VECM

# Criar um dataframe com os dados
data = pd.DataFrame({
    'data': ['2022-01-01', '2022-01-02', '2022-01-03'],
    'variavel1': [1.0, 2.0, 3.0],
    'variavel2': [4.0, 5.0, 6.0],
    'variavel3': [7.0, 8.0, 9.0]
})

# Preparar os dados
data.set_index('data', inplace=True)
data = data.astype(float)

# Ajustar o modelo VEC
model = VECM(data)
results = model.fit()

# Imprimir os resultados
print(results.summary())

O código ajustará um modelo VEC aos seus dados e imprimirá um resumo dos resultados.

Certifique-se de substituir os dados fictícios pelo seu próprio dataframe, mantendo a estrutura de colunas e os tipos de dados corretos.

7.4 - Modelos de Componentes Sazonais

Os Modelos de Componentes Sazonais são utilizados para analisar e prever séries temporais que apresentam padrões sazonais, ou seja, variações regulares e previsíveis que ocorrem em determinados períodos de tempo, fornecendo insights valiosos sobre as flutuações regulares dos dados ao longo do tempo, permitindo uma melhor compreensão do comportamento e das tendências subjacentes.

Esses modelos são úteis para entender e analisar os padrões sazonais presentes em séries temporais, bem como para realizar previsões de curto e longo prazo levando em consideração essas variações, sendo amplamente aplicados em áreas como economia, finanças, meteorologia e vendas, onde a sazonalidade desempenha um papel importante nas flutuações dos dados.

Existem diferentes tipos, sendo os mais comuns:

  • Modelo Aditivo de Componentes Sazonais: Nesse modelo, a série temporal é decomposta em diferentes componentes, incluindo a tendência, a componente sazonal, os efeitos cíclicos e o termo de erro. A componente sazonal é adicionada à tendência para formar a série completa. Essa abordagem assume que a amplitude da componente sazonal é constante ao longo do tempo e não depende da tendência.
  • Modelo Multiplicativo de Componentes Sazonais: Nesse modelo, a série temporal é decomposta em componentes multiplicativos. A tendência e os efeitos cíclicos são multiplicados pela componente sazonal para formar a série completa. Essa abordagem assume que a amplitude da componente sazonal varia de acordo com a tendência.
  • Modelo de Decomposição Clássica: Esse modelo utiliza uma abordagem de médias móveis para decompor a série temporal em componentes de tendência, sazonalidade, ciclos e resíduos. Ele pressupõe que a componente sazonal seja constante ao longo do tempo.
  • Modelo de Decomposição X-12-ARIMA: Esse modelo é uma extensão do modelo de decomposição clássica e é amplamente utilizado para ajustar séries temporais com sazonalidade. Ele aplica métodos de decomposição avançados, como análise de Fourier, ajuste de modelos ARIMA e ajuste de outliers, para obter estimativas mais precisas das componentes sazonais.

Os modelos de componentes sazonais são utilizados com séries temporais quando temos mais de uma variável observada ao longo do tempo, frequentemente exibindo padrões sazonais, ou seja, variações sistemáticas que ocorrem em intervalos regulares de tempo, como sazonalidade diária, mensal ou anual.

Os modelos de componentes sazonais são projetados para capturar e modelar essas variações sazonais, e são compostos por diferentes elementos que representam as diferentes fontes de variação em uma série temporal sazonal.

Esses elementos incluem a tendência, a componente sazonal, a componente de ciclo e o termo de erro.

  • Tendência: representa a direção geral e o padrão de crescimento ou decrescimento da série ao longo do tempo.
  • Componente Sazonal: captura as flutuações regulares e periódicas que ocorrem devido a fatores sazonais.
  • Componente de Ciclo: modela padrões de longo prazo que não são sazonais, mas que se repetem em intervalos maiores do que um ano.
  • Termo de Erro: representa a parte aleatória e não explicada da série.

A modelagem dos componentes sazonais permite decompor a série temporal em suas diferentes fontes de variação, o que facilita a compreensão dos padrões e a identificação de tendências e flutuações sazonais.

Além disso, esses modelos permitem realizar previsões sazonais mais precisas, fornecendo informações valiosas para o planejamento e tomada de decisões em contextos onde a sazonalidade é um fator importante.

Existem diferentes abordagens e técnicas para modelar os componentes sazonais, incluindo a análise de decomposição clássica, a suavização exponencial sazonal e os modelos de regressão com componentes sazonais.

Cada método tem suas vantagens e é adequado para diferentes tipos de séries temporais e objetivos de análise.

Dominar a modelagem dos componentes sazonais em séries temporais permite uma compreensão mais profunda dos padrões sazonais nos dados, bem como a capacidade de fazer previsões mais precisas e tomar decisões informadas em um contexto sazonal.

Isso é especialmente útil em áreas como varejo, turismo, energia, agricultura e outras indústrias onde as flutuações sazonais desempenham um papel significativo.

7.4.1 - Modelo Aditivo de Componentes Sazonais

O modelo aditivo de componentes sazonais é uma abordagem comumente usada para modelar séries temporais com sazonalidade, usada na decomposição uma série temporal em diferentes componentes, como tendência, sazonalidade, efeitos cíclicos e resíduos.

Essa decomposição permite entender e modelar as diferentes fontes de variação presentes na série temporal.

A ideia básica por trás do Modelo Aditivo de Componentes Sazonais é que a série temporal é a soma de várias componentes independentes.

Essas componentes são:

  • Tendência: representa a direção geral dos dados ao longo do tempo. Pode ser uma tendência ascendente, descendente ou estável. Geralmente é modelada como uma função linear ou não linear.
  • Componente Sazonal: representa os padrões sazonais que se repetem em intervalos regulares de tempo. Esses padrões podem ser mensais, trimestrais, anuais, etc. A amplitude da componente sazonal é constante ao longo do tempo, ou seja, não depende da tendência.
  • Efeitos Cíclicos: representam flutuações que ocorrem em intervalos não regulares. Essas flutuações podem ser causadas por fatores econômicos, políticos ou outros eventos específicos que ocorrem em um determinado período de tempo.
  • Termo de Erro: representa a variação não explicada pelos outros componentes. É considerado um ruído aleatório e é importante para capturar a aleatoriedade e as irregularidades nos dados.

O modelo aditivo é expresso pela seguinte equação:

$y(t) = Tendência(t) + Sazonalidade(t) + Cíclico(t) + Erro(t)$

Uma vez que a série temporal é decomposta em suas componentes, é possível analisar separadamente cada uma delas e entender melhor seus padrões e comportamentos individuais. Além disso, a decomposição permite remover a componente sazonal da série original, o que pode ser útil para análises posteriores.

A análise do Modelo Aditivo de Componentes Sazonais pode ser realizada por meio de métodos estatísticos, como a decomposição clássica de séries temporais ou o uso de modelos mais avançados, como modelos ARIMA sazonais.

Aqui está um exemplo de código Python para ajustar um modelo aditivo de componentes sazonais usando a biblioteca statsmodels: 

import pandas as pd
import statsmodels.api as sm

# Criar um dataframe com os dados
data = pd.DataFrame({
    'data': pd.date_range(start='2022-01-01', end='2022-12-31', freq='D')[:360],
    'valor': [10, 15, 12, 18, 20, 25, 22, 28, 30, 35, 32, 38] * 30  # Dados de exemplo com sazonalidade mensal
})

# Preparar os dados
data.set_index('data', inplace=True)

# Ajustar o modelo aditivo de componentes sazonais
model = sm.tsa.seasonal_decompose(data, model='additive')

# Extrair as componentes do modelo
trend = model.trend
seasonal = model.seasonal
residual = model.resid

# Imprimir as componentes
print("Tendência:")
print(trend.head())

print("Componente Sazonal:")
print(seasonal.head())

print("Resíduo:")
print(residual.head())

Certifique-se de substituir os dados fictícios pelo seu próprio dataframe com a coluna de data e os valores correspondentes. O código ajustará o modelo aditivo de componentes sazonais aos seus dados e extrairá as componentes do modelo, ou seja, a tendência, a componente sazonal e o resíduo.

7.4.2 - Modelo Multiplicativo de Componentes Sazonais

O Modelo Multiplicativo de Componentes Sazonais é uma abordagem alternativa para decompor uma série temporal em diferentes componentes, assim como o Modelo Aditivo de Componentes Sazonais.

Esse modelo também é amplamente utilizado para analise e modelagem de séries temporais com padrões sazonais.

Diferente do Modelo Aditivo, o Modelo Multiplicativo assume que as componentes se multiplicam para formar a série temporal.

Em outras palavras, cada componente é multiplicada por todas as outras componentes para gerar a série observada, implicando que as flutuações na série temporal têm uma amplitude proporcional ao nível médio da série.

As componentes do Modelo Multiplicativo de Componentes Sazonais são as mesmas que no Modelo Aditivo:

  • Tendência: representa a direção geral dos dados ao longo do tempo. Pode ser uma tendência ascendente, descendente ou estável. Assim como no modelo aditivo, a tendência pode ser modelada como uma função linear ou não linear.
  • Componente Sazonal: representa os padrões sazonais que se repetem em intervalos regulares de tempo. A diferença chave é que, no Modelo Multiplicativo, a componente sazonal é multiplicada pela tendência e outros componentes. Isso implica que a amplitude da componente sazonal pode variar em relação ao nível médio da série.
  • Efeitos Cíclicos: representam flutuações que ocorrem em intervalos não regulares. Da mesma forma que no Modelo Aditivo, os efeitos cíclicos podem ser causados por fatores econômicos, políticos ou outros eventos específicos que ocorrem em um determinado período de tempo.
  • Erro: representa a variação não explicada pelos outros componentes. É considerado um ruído aleatório e desempenha um papel semelhante ao do Modelo Aditivo.

O modelo multiplicativo é expresso pela seguinte equação:

$y(t) = Tendência(t) * Sazonalidade(t) * Cíclico(t) * Erro(t)$

Assim como no Modelo Aditivo, a decomposição da série temporal usando o Modelo Multiplicativo permite analisar separadamente cada componente e entender seus padrões individuais.

A remoção da componente sazonal da série original também pode ser realizada para análises adicionais.

A escolha entre o Modelo Aditivo e o Modelo Multiplicativo depende da natureza da série temporal e dos padrões sazonais presentes nos dados.

Em alguns casos, o Modelo Aditivo é mais apropriado, enquanto em outros casos o Modelo Multiplicativo pode se adequar melhor.

O modelo multiplicativo de componentes sazonais é uma abordagem comumente usada para modelar séries temporais com sazonalidade.

Aqui está um exemplo de código Python para ajustar um modelo multiplicativo de componentes sazonais usando a biblioteca statsmodels: 

import pandas as pd
import statsmodels.api as sm

# Criar um dataframe com os dados
data = pd.DataFrame({
    'data': pd.date_range(start='2022-01-01', end='2022-12-31', freq='D')[:360],
    'valor': [10, 15, 12, 18, 20, 25, 22, 28, 30, 35, 32, 38] * 30  # Dados de exemplo com sazonalidade mensal
})

# Preparar os dados
data.set_index('data', inplace=True)

# Ajustar o modelo multiplicativo de componentes sazonais
model = sm.tsa.seasonal_decompose(data, model='multiplicative')

# Extrair as componentes do modelo
trend = model.trend
seasonal = model.seasonal
residual = model.resid

# Imprimir as componentes
print("Tendência:")
print(trend.head())

print("Componente Sazonal:")
print(seasonal.head())

print("Resíduo:")
print(residual.head())

Certifique-se de substituir os dados fictícios pelo seu próprio dataframe com a coluna de data e os valores correspondentes.

O código ajustará o modelo multiplicativo de componentes sazonais aos seus dados e extrairá as componentes do modelo, ou seja, a tendência, a componente sazonal e o resíduo.

7.4.3 - Modelo de Decomposição Clássica

O Modelo de Decomposição Clássica, também conhecido como Método de Decomposição Clássica, é um dos métodos mais antigos e amplamente utilizados para se decompor uma série temporal em seus componentes principais, sendo particularmente útil na identificação e separação da tendência e dos padrões sazonais de uma série temporal.

A decomposição clássica divide a série temporal em três componentes principais:

  • Tendência: representa a direção geral dos dados ao longo do tempo, indicando se a série está aumentando, diminuindo ou mantendo-se estável. A tendência pode ser modelada como uma função linear ou não linear, dependendo da natureza dos dados.
  • Componente Sazonal: representa os padrões sazonais que se repetem em intervalos regulares de tempo, como sazonalidade mensal, trimestral ou anual. Esses padrões são influenciados por fatores como estações do ano, feriados ou eventos regulares. A componente sazonal geralmente mostra flutuações periódicas na série temporal.
  • Componente de Resíduos (ou Irregular): representa a variação não explicada pelos outros componentes. É considerado um ruído aleatório ou uma parte não sistemática da série temporal. A componente de resíduos contém flutuações irregulares, e sua análise pode revelar informações sobre a aleatoriedade e as anomalias na série.

A decomposição clássica é baseada em uma abordagem aditiva, onde a série temporal é considerada como a soma dos três componentes mencionados acima. A decomposição é geralmente realizada aplicando uma média móvel ponderada aos dados originais para estimar a tendência e a componente sazonal. Os resíduos são obtidos subtraindo-se a tendência e a componente sazonal dos dados originais.

O modelo de decomposição clássica é expresso pela seguinte equação:

$y(t) = Tendência(t) + Sazonalidade(t) + Resíduos(t)$

A decomposição clássica é útil para analisar e entender os padrões temporais de uma série, identificar tendências de longo prazo e padrões sazonais recorrentes. Também pode ser usado para remover a tendência e a sazonalidade da série, permitindo uma análise mais aprofundada dos resíduos.

É importante ressaltar que o modelo de decomposição clássica possui algumas limitações, especialmente quando a série temporal apresenta padrões não lineares ou tendências não constantes ao longo do tempo.

Nesses casos, outros métodos mais avançados, como modelos de séries temporais, podem ser mais adequados.

O modelo de decomposição clássica é uma abordagem utilizada para decompor uma série temporal em suas componentes de tendência, sazonalidade e resíduo.

Aqui está um exemplo de código Python para realizar a decomposição clássica usando a biblioteca statsmodels: 

import pandas as pd
import statsmodels.api as sm

# Criar um dataframe com os dados
data = pd.DataFrame({
    'data': pd.date_range(start='2022-01-01', end='2022-12-31', freq='D')[:360],
    'valor': [10, 15, 12, 18, 20, 25, 22, 28, 30, 35, 32, 38] * 30  # Dados de exemplo com sazonalidade mensal
})

# Preparar os dados
data.set_index('data', inplace=True)

# Ajustar o modelo de decomposição clássica
decomposition = sm.tsa.seasonal_decompose(data, model='additive')

# Extrair as componentes do modelo
trend = decomposition.trend
seasonal = decomposition.seasonal
residual = decomposition.resid

# Imprimir as componentes
print("Tendência:")
print(trend.head())

print("Componente Sazonal:")
print(seasonal.head())

print("Resíduo:")
print(residual.head())

Certifique-se de substituir os dados fictícios pelo seu próprio dataframe com a coluna de data e os valores correspondentes. O código realizará a decomposição clássica da série temporal e extrairá as componentes do modelo, incluindo a tendência, a componente sazonal e o resíduo.

7.4.4 - Modelo de Decomposição X-12-ARIMA

O Modelo de Decomposição X-12-ARIMA é um método avançado de decomposição de séries temporais usado para analisar e decompor as componentes de tendência, sazonalidade e variação irregular de uma série temporal.

O X-12-ARIMA é uma abordagem amplamente utilizada para a análise de séries temporais econômicas e é uma extensão do método de decomposição clássica. Ele combina técnicas de decomposição clássica com modelos ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) para obter uma decomposição mais precisa e ajustada aos dados.

O processo de decomposição usando o X-12-ARIMA envolve as seguintes etapas:

  • Identificação de padrões sazonais: o modelo X-12-ARIMA identifica os padrões sazonais presentes na série temporal, como sazonalidade mensal, trimestral ou anual. Ele usa métodos estatísticos e algoritmos avançados para detectar e modelar esses padrões.
  • Ajuste de modelos ARIMA: após identificar os padrões sazonais, o modelo X-12-ARIMA ajusta modelos ARIMA à série temporal. Os modelos ARIMA são utilizados para modelar e capturar a tendência e a variação irregular dos dados.
  • Decomposição da série: com base nos modelos ARIMA ajustados, o X-12-ARIMA realiza a decomposição da série em seus componentes principais: tendência, sazonalidade e variação irregular. Essa decomposição é realizada por meio de cálculos estatísticos sofisticados e algoritmos avançados.
  • Ajuste fino e revisão dos resultados: o modelo X-12-ARIMA realiza um ajuste fino nos componentes decompostos, levando em consideração fatores como feriados, efeitos de calendário e outros eventos especiais. Ele também revisa e ajusta os resultados com base em métricas de qualidade, como o erro médio quadrático.

O X-12-ARIMA oferece várias vantagens em relação ao método de decomposição clássica. Ele é capaz de lidar com padrões sazonais complexos, tendências não lineares e variação irregular não aleatória. Além disso, permite a inclusão de informações externas, como dados econômicos adicionais, para melhorar a precisão da decomposição.

O uso do X-12-ARIMA requer conhecimentos avançados em séries temporais e análise estatística.

É uma ferramenta poderosa para a análise de séries temporais econômicas e é amplamente utilizado por economistas, estatísticos e pesquisadores.

O modelo de decomposição X-12-ARIMA é um método avançado de decomposição sazonal que incorpora a modelagem ARIMA para ajustar a série temporal.

A biblioteca statsmodels não possui uma implementação direta do X-12-ARIMA. No entanto, você pode usar a biblioteca pyramid-arima, que fornece suporte para ajuste de modelos ARIMA, incluindo o X-12-ARIMA.

Aqui está um exemplo de código Python que utiliza o pyramid-arima para ajustar o modelo de decomposição X-12-ARIMA em uma série temporal: 

import pandas as pd
from pyramid.arima import auto_arima

# Carregar os dados
data = pd.read_csv('dados.csv', parse_dates=['data'], index_col='data')

# Ajustar o modelo X-12-ARIMA
model = auto_arima(data, seasonal=True, m=12)

# Realizar a decomposição
decomposition = model.to_seasonal_decomposition()

# Extrair as componentes do modelo
trend = decomposition.trend
seasonal = decomposition.seasonal
residual = decomposition.resid

# Imprimir as componentes
print("Tendência:")
print(trend.head())

print("Componente Sazonal:")
print(seasonal.head())

print("Resíduo:")
print(residual.head())

Certifique-se de ter instalado a biblioteca pyramid-arima antes de executar o código.

Você pode instalá-la usando o comando: 

pip install pyramid-arima

Além disso, ajuste o caminho do arquivo "dados.csv" para corresponder ao seu próprio conjunto de dados.

O código ajustará o modelo X-12-ARIMA usando a função auto_arima e, em seguida, realizará a decomposição sazonal para extrair as componentes do modelo: tendência, componente sazonal e resíduo.

7.5 - Previsão e diagnóstico em séries temporais

A previsão de séries temporais é uma área essencial da análise de dados, que visa estimar os valores futuros com base nos padrões e comportamentos observados no passado.

A capacidade de fazer previsões precisas é fundamental para tomadas de decisões estratégicas, planejamento de recursos, otimização de processos e muitos outros cenários.

Existem várias abordagens e técnicas para a previsão de séries temporais.

Uma das mais comuns é a utilização de modelos estatísticos, como os modelos ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average), modelos de suavização exponencial, modelos de regressão com componentes sazonais, entre outros.

Esses modelos exploram os padrões históricos da série temporal para fazer previsões futuras.

Além da previsão, o diagnóstico das séries temporais é uma etapa importante na análise.

O diagnóstico envolve a avaliação da qualidade e adequação dos modelos aplicados, bem como a identificação de possíveis problemas ou anomalias nos dados.

É fundamental realizar uma análise crítica dos resultados da previsão e avaliar a precisão do modelo.

O diagnóstico pode envolver a análise dos resíduos, que são as diferenças entre os valores observados e os valores previstos pelo modelo.

É importante verificar se os resíduos seguem uma distribuição normal, se não possuem padrões sistemáticos e se são independentes ao longo do tempo.

Essas verificações ajudam a identificar possíveis deficiências no modelo e guiam os ajustes e melhorias necessários.

A previsão e o diagnóstico em séries temporais podem ser apoiados por diversas técnicas estatísticas e ferramentas computacionais.

Além dos modelos estatísticos, também podem ser utilizados métodos de aprendizado de máquina, como redes neurais, árvores de decisão e modelos de séries temporais baseados em redes recorrentes, como LSTM (Long Short-Term Memory) e GRU (Gated Recurrent Unit).

Essas abordagens mais avançadas podem lidar com relações complexas e não lineares nos dados e capturar padrões mais sutis.

Dominar a previsão e o diagnóstico em séries temporais é essencial para a análise de dados em diversas áreas, como finanças, economia, marketing, energia, meteorologia e muitas outras.

A capacidade de antecipar tendências, identificar padrões e avaliar a qualidade dos modelos permite uma tomada de decisão mais informada e eficaz, contribuindo para o sucesso das organizações em um mundo cada vez mais orientado por dados.

O principais tipos de previsão e diagnóstico em séries temporais são:

  • Previsão de curto prazo: A previsão de curto prazo envolve a estimativa dos valores futuros da série em um horizonte de tempo próximo, geralmente de alguns períodos até um ano. É amplamente utilizada em planejamento operacional, gestão de estoques, logística e outros contextos em que a tomada de decisão precisa considerar as flutuações imediatas da série.
  • Previsão de longo prazo: A previsão de longo prazo envolve a projeção dos valores futuros da série em um horizonte de tempo mais amplo, geralmente além de um ano. É útil em análises estratégicas, planejamento de negócios, previsões econômicas de longo prazo e outras aplicações em que a visão de longo prazo é necessária.
  • Previsão univariada: A previsão univariada refere-se à previsão de uma única série temporal. Nesse caso, apenas as informações históricas dessa série são usadas para fazer a previsão. É adequada quando estamos interessados em prever apenas uma variável de interesse, independentemente de outras séries temporais.
  • Previsão multivariada: A previsão multivariada envolve a previsão simultânea de múltiplas séries temporais. Nesse caso, as informações históricas de várias séries são consideradas para fazer as previsões. É útil quando as séries temporais estão inter-relacionadas e as previsões de uma variável podem ser melhoradas considerando as informações de outras variáveis.
  • Diagnóstico de modelos: O diagnóstico de modelos em séries temporais refere-se à avaliação da qualidade e adequação dos modelos utilizados para a previsão. Envolve a análise dos resíduos dos modelos, verificando se eles atendem às suposições de independência, homocedasticidade e normalidade. Também pode envolver a análise de métricas de desempenho do modelo, como erro médio absoluto (MAE), erro quadrático médio (MSE) e outros indicadores de ajuste do modelo.

Esses são os principais tipos de previsão e diagnóstico em séries temporais. Cada um deles possui abordagens e técnicas específicas, que podem variar dependendo do contexto e dos objetivos da análise.

7.5.1 - Previsão de curto prazo

A previsão de curto prazo refere-se à estimativa dos valores futuros de uma série temporal em um horizonte de tempo próximo, geralmente de alguns períodos até um ano. É uma técnica amplamente utilizada em diversas áreas, como economia, finanças, marketing, logística e planejamento operacional.

A previsão de curto prazo é útil para auxiliar na tomada de decisão em cenários em que é necessário considerar as flutuações imediatas da série temporal. Alguns exemplos de aplicação incluem:

  • Planejamento de demanda: Empresas utilizam a previsão de curto prazo para estimar a demanda por seus produtos ou serviços nos próximos períodos. Isso permite um planejamento mais preciso da produção, aquisição de matéria-prima e alocação de recursos.
  • Gestão de estoques: Varejistas e distribuidores usam a previsão de curto prazo para determinar os níveis de estoque adequados para atender à demanda futura. Isso evita a escassez ou excesso de produtos, otimizando os custos de armazenagem e maximizando a disponibilidade dos produtos.
  • Gestão de produção: Indústrias utilizam previsões de curto prazo para ajustar a produção de acordo com a demanda esperada. Isso permite um melhor planejamento da capacidade de produção, mão de obra e recursos necessários para atender às demandas do mercado.
  • Controle de fluxo de caixa: Empresas usam previsões de curto prazo para estimar as receitas e despesas futuras, auxiliando na gestão do fluxo de caixa. Isso permite um melhor planejamento financeiro, evitando problemas de liquidez e auxiliando na tomada de decisões de investimento e financiamento.

As técnicas comumente utilizadas para a previsão de curto prazo incluem modelos de média móvel, modelos autorregressivos (AR), modelos de médias móveis autorregressivas (ARMA), modelos de suavização exponencial, redes neurais, entre outros. Essas técnicas exploram padrões e tendências presentes nos dados históricos da série temporal para projetar os valores futuros.

É importante ressaltar que a previsão de curto prazo não é infalível e está sujeita a incertezas. Portanto, é recomendado acompanhar e atualizar regularmente as previsões à medida que novos dados se tornam disponíveis, a fim de ajustar os planos e estratégias conforme necessário.

Em resumo, a previsão de curto prazo é uma ferramenta valiosa para auxiliar na tomada de decisão em cenários que exigem consideração das flutuações imediatas da série temporal. Ela permite um planejamento mais eficiente, redução de custos e melhor alocação de recursos, contribuindo para o sucesso das organizações em diversos setores.

A previsão de curto prazo pode ser realizada usando diversos métodos, como modelos de séries temporais, regressão, médias móveis, entre outros.

A seguir um exemplo de código Python utilizando o modelo de séries temporais ARIMA para fazer uma previsão de curto prazo. 

import pandas as pd
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA

# Carregar os dados
data = pd.read_csv('dados.csv', parse_dates=['data'], index_col='data')

# Ajustar o modelo ARIMA
# model = ARIMA(data, order=(p, d, q))  # Substitua p, d, q pelos valores adequados
model = ARIMA(data, order=(1, 1, 1))  # Substitua p, d, q pelos valores adequados
model_fit = model.fit()

# Fazer a previsão
forecast = model_fit.forecast(steps=7)  # Substitua 7 pelo número adequado de períodos a serem previstos

# Imprimir a previsão
print("Previsão de curto prazo:")
print(forecast)

Certifique-se de ter instalado a biblioteca statsmodels antes de executar o código. Você pode instalá-la usando o comando pip install statsmodels. Ajuste o caminho do arquivo "dados.csv" para corresponder ao seu próprio conjunto de dados. No exemplo acima, substitua p, d e q pelos parâmetros adequados para o seu modelo ARIMA. Em seguida, defina o número de períodos a serem previstos no parâmetro steps da função forecast(). A previsão de curto prazo será impressa no console.

Lembre-se de que o modelo ARIMA é apenas um exemplo e existem outras abordagens para previsão de curto prazo, como modelos de médias móveis, regressão, modelos de aprendizado de máquina, entre outros. A escolha do método adequado depende do contexto do problema e dos dados disponíveis.

7.5.2 - Previsão de longo prazo

A previsão de longo prazo refere-se à estimativa dos valores futuros de uma série temporal em um horizonte de tempo mais distante, geralmente além de um ano. É uma técnica amplamente utilizada em diversas áreas, como economia, finanças, planejamento estratégico e demografia.

A previsão de longo prazo é útil para entender tendências de longo prazo, fazer projeções de crescimento e planejar estratégias de longo prazo. Alguns exemplos de aplicação incluem:

  • Planejamento de investimentos: Empresas e instituições financeiras usam a previsão de longo prazo para tomar decisões de investimento. Isso inclui a avaliação de oportunidades de investimento, como expansão de negócios, aquisição de ativos e desenvolvimento de projetos de infraestrutura.
  • Planejamento econômico: Governos e instituições econômicas usam a previsão de longo prazo para planejar políticas e estratégias econômicas. Isso envolve a projeção do crescimento econômico, taxa de desemprego, inflação, demanda por serviços públicos, entre outros indicadores.
  • Planejamento demográfico: Agências governamentais e instituições de pesquisa utilizam a previsão de longo prazo para estimar a população futura, projeções de envelhecimento da população, demanda por serviços de saúde e educação, entre outros fatores demográficos relevantes.
  • Planejamento energético: Setores de energia usam a previsão de longo prazo para projetar a demanda futura de energia, planejar a construção de usinas e redes de distribuição, identificar fontes de energia renovável e avaliar a sustentabilidade do suprimento energético.

As técnicas utilizadas para a previsão de longo prazo podem variar dependendo da natureza dos dados e dos padrões temporais em questão. Algumas abordagens comuns incluem modelos de séries temporais, modelos de regressão, modelos de crescimento exponencial, modelos econométricos, métodos de cenários e análise de tendências históricas.

É importante ter em mente que a previsão de longo prazo está sujeita a incertezas e pressupõe que as condições futuras sejam semelhantes às condições passadas. Portanto, é recomendado realizar análises de sensibilidade e considerar diferentes cenários para avaliar a robustez das previsões.

A previsão de longo prazo desempenha um papel importante na tomada de decisões estratégicas, permitindo às organizações e instituições se prepararem para o futuro, identificarem oportunidades e riscos, e desenvolverem planos e estratégias sólidas, e pode ser feita estendendo-se as previsões de curto prazo para um período mais longo.

Aqui está um exemplo de código Python para realizar a previsão de longo prazo usando o método get_forecast(): 

import pandas as pd
from statsmodels.tsa.statespace.sarimax import SARIMAX

# Criar um DataFrame com os dados
data = pd.DataFrame({
    'data': ['2023-01-01', '2023-01-02', '2023-01-03', '2023-01-04', '2023-01-05'],
    'valor': [10, 15, 12, 18, 20]
})

# Converter a coluna 'data' para o tipo datetime
data['data'] = pd.to_datetime(data['data'])

# Definir a coluna 'data' como índice do DataFrame
data.set_index('data', inplace=True)

# Ajustar o modelo SARIMAX
model = SARIMAX(data, order=(1, 1, 1))
model_fit = model.fit()

# Fazer a previsão de curto prazo
forecast_short = model_fit.get_forecast(steps=7)

# Extrair os valores previstos de curto prazo
forecast_values = forecast_short.predicted_mean

# Estender a previsão de curto prazo para o período de longo prazo
forecast_long = model_fit.get_forecast(steps=30)

# Extrair os valores previstos de longo prazo
forecast_values_long = forecast_long.predicted_mean

# Imprimir a previsão de longo prazo
print("Previsão de longo prazo:")
print(forecast_values_long)

Neste exemplo, ajustamos o modelo SARIMAX aos dados fornecidos e geramos a previsão de curto prazo para 7 períodos usando o método get_forecast().

Em seguida, estendemos a previsão de curto prazo para um período de longo prazo de 30 períodos também usando o método get_forecast().

Finalmente, extraímos os valores previstos de longo prazo e os imprimimos.

7.5.3 - Previsão univariada

A previsão univariada refere-se à técnica de prever os valores futuros de uma única variável em uma série temporal, sendo amplamente utilizada em diversas áreas, como economia, finanças, meteorologia, vendas e demanda de produtos, entre outras.

Nesse tipo de previsão, apenas a variável de interesse é considerada, sem levar em conta outras variáveis explicativas, sendo útil quando se deseja estimar os valores futuros de uma única variável e não há necessidade de considerar outras variáveis relacionadas.

Existem várias abordagens para realizar a previsão univariada, incluindo:

  • Modelos de séries temporais: Essa abordagem envolve o uso de técnicas estatísticas para modelar a estrutura temporal da série e fazer previsões com base nos padrões históricos. Alguns modelos comuns incluem modelos ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average), modelos de suavização exponencial e modelos sazonais.
  • Modelos de regressão: Nesse caso, utiliza-se uma regressão estatística para relacionar a variável de interesse com outras variáveis explicativas relevantes. Através dessa relação, é possível realizar a previsão da variável de interesse com base nos valores conhecidos das variáveis explicativas.
  • Métodos de médias móveis: Esses métodos envolvem a utilização de médias móveis dos valores passados da variável para estimar os valores futuros. As médias móveis podem ser simples (considerando uma janela fixa de observações) ou ponderadas (atribuindo pesos diferentes às observações).
  • Métodos de projeção: Esses métodos são baseados na projeção de tendências e padrões históricos da série temporal para estimar os valores futuros. Eles podem envolver a identificação de padrões sazonais, análise de tendências de longo prazo e utilização de técnicas de alisamento para suavizar flutuações aleatórias.

A escolha da abordagem de previsão univariada depende do contexto, da disponibilidade de dados e da natureza da série temporal em questão.

É importante considerar também a qualidade dos dados, a presença de outliers ou dados faltantes, e realizar uma avaliação cuidadosa do desempenho das técnicas de previsão por meio de métricas de acurácia, como erro médio absoluto (MAE), erro quadrático médio (MSE) ou erro percentual absoluto médio (MAPE).

A previsão univariada pode ser uma ferramenta poderosa para tomar decisões informadas, planejar estratégias e identificar tendências futuras em uma série temporal.

No entanto, é sempre importante considerar que toda previsão está sujeita a incertezas e que os resultados devem ser interpretados com cautela, levando em conta o contexto específico da aplicação.

A previsão univariada envolve a previsão de apenas uma variável ao longo do tempo.

Aqui está um exemplo de código Python para realizar previsão univariada usando o método ARIMA do pacote statsmodels: 

import pandas as pd
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA

# Criar um DataFrame com os dados
data = pd.DataFrame({
    'data': ['2023-01-01', '2023-01-02', '2023-01-03', '2023-01-04', '2023-01-05'],
    'valor': [10, 15, 12, 18, 20]
})

# Converter a coluna 'data' para o tipo datetime
data['data'] = pd.to_datetime(data['data'])

# Definir a coluna 'data' como índice do DataFrame
data.set_index('data', inplace=True)

# Ajustar o modelo ARIMA
model = ARIMA(data['valor'], order=(1, 0, 1))
model_fit = model.fit()

# Fazer a previsão
forecast = model_fit.predict(start='2023-01-06', end='2023-01-10')

# Imprimir a previsão
print("Previsão:")
print(forecast)

Neste exemplo, ajustamos o modelo ARIMA aos dados fornecidos e fazemos a previsão para o período de '2023-01-06' a '2023-01-10'. Os valores previstos são armazenados na variável forecast e são impressos na tela.

7.5.4 - Previsão multivariada

A previsão multivariada refere-se à técnica de prever os valores futuros de múltiplas variáveis em uma série temporal, sendo particularmente útil quando há dependências entre as variáveis e quando as informações de uma variável podem ser utilizadas para melhorar a precisão das previsões das outras variáveis relacionadas.

Nesse tipo de previsão, são consideradas as relações e interações entre as variáveis para realizar as estimativas futuras.

Existem várias abordagens para realizar a previsão multivariada, incluindo:

  • Modelos de Vetores Autorregressivos (VAR): Esses modelos são uma extensão dos modelos univariados AR (Autoregressive) para o caso multivariado. Eles consideram as relações entre as variáveis ao modelar a evolução conjunta das séries temporais. Os modelos VAR podem ser usados para prever as variáveis em diferentes horizontes de tempo.
  • Modelos de Vetores Autorregressivos de Médias Móveis (VARMA): Esses modelos combinam os conceitos dos modelos VAR e modelos MA (Médias Móveis). Eles podem ser usados quando as variáveis apresentam tanto componentes autorregressivos quanto de médias móveis.
  • Modelos de Vetores Autorregressivos de Médias Móveis Integradas (VARIMA): Esses modelos incluem a capacidade de lidar com séries temporais que apresentam tendências e componentes autorregressivos e de médias móveis. Eles são úteis quando há necessidade de lidar com séries não estacionárias.
  • Modelos de Espaço de Estado: Esses modelos representam a evolução das variáveis como um sistema dinâmico de equações de estado. Eles podem incorporar dependências e interações entre as variáveis ao longo do tempo.
  • Redes Neurais: As redes neurais, em particular as redes neurais recorrentes, são amplamente utilizadas na previsão multivariada. Elas podem capturar padrões complexos e não lineares entre as variáveis, tornando-se úteis quando as relações entre as variáveis são altamente não lineares.

A escolha da abordagem de previsão multivariada depende do contexto, das características dos dados e das relações esperadas entre as variáveis. É importante considerar a disponibilidade e qualidade dos dados, o tamanho da amostra, a presença de outliers ou dados faltantes, e realizar uma avaliação cuidadosa do desempenho das técnicas de previsão por meio de métricas de acurácia.

A previsão multivariada é valiosa em muitas áreas, como finanças, economia, previsão de demanda, previsão de vendas, entre outras, onde as interações entre as variáveis são importantes para tomar decisões informadas e estratégias de planejamento. No entanto, é fundamental lembrar que toda previsão está sujeita a incertezas e que os resultados devem ser interpretados considerando o contexto específico da aplicação.

A previsão multivariada envolve a previsão de várias variáveis ao mesmo tempo.

Aqui está um exemplo de código Python para realizar previsão multivariada usando o método VAR do pacote statsmodels: 

import pandas as pd
from statsmodels.tsa.vector_ar.var_model import VAR

# Criar um DataFrame com os dados
data = pd.DataFrame({
    'data': ['2023-01-01', '2023-01-02', '2023-01-03', '2023-01-04', '2023-01-05'],
    'valor1': [10, 15, 12, 18, 20],
    'valor2': [5, 8, 6, 10, 12]
})

# Converter a coluna 'data' para o tipo datetime
data['data'] = pd.to_datetime(data['data'])

# Definir a coluna 'data' como índice do DataFrame
data.set_index('data', inplace=True)

# Ajustar o modelo VAR
model = VAR(data)
model_fit = model.fit()

# Fazer a previsão
forecast = model_fit.forecast(data.values[-model_fit.k_ar:], steps=3)

# Criar um DataFrame para armazenar a previsão
forecast_df = pd.DataFrame(forecast, columns=data.columns)

# Imprimir a previsão
print("Previsão:")
print(forecast_df)

Neste exemplo, ajustamos o modelo VAR aos dados fornecidos e fazemos a previsão para os próximos 3 passos.

Os valores previstos para cada variável são armazenados na variável forecast com a matriz de dados mais recente data.values[-model_fit.k_ar:] para fazer a previsão para os próximos 3 passos.

Em seguida, armazenamos a previsão em um novo DataFrame forecast_df e imprimimos na tela.

7.5.5 - Diagnóstico de modelos

O diagnóstico de modelos é uma etapa essencial na análise de séries temporais, que envolve a avaliação da qualidade e adequação do modelo ajustado aos dados observados. O objetivo é verificar se o modelo captura adequadamente os padrões e características da série temporal, identificar possíveis problemas ou violações das suposições do modelo e avaliar a confiabilidade das previsões geradas.

Existem várias técnicas e métodos disponíveis para realizar o diagnóstico de modelos de séries temporais. Alguns dos principais aspectos a serem considerados durante o diagnóstico incluem:

  • Resíduos: Os resíduos são as diferenças entre os valores observados e os valores previstos pelo modelo. A análise dos resíduos é fundamental para verificar se eles apresentam comportamento aleatório, se são independentes e se não contêm informações úteis. Alguns métodos para avaliar os resíduos incluem a análise gráfica (como gráficos de dispersão, histogramas, gráficos de autocorrelação dos resíduos) e testes estatísticos (como o teste de Ljung-Box para autocorrelação dos resíduos).
  • Suposições do modelo: Cada tipo de modelo de séries temporais possui suas suposições específicas. Por exemplo, os modelos ARMA assumem que a série é estacionária e que os resíduos seguem uma distribuição normal. Verificar a estacionariedade da série, a normalidade dos resíduos e outras suposições é fundamental para garantir a validade das inferências e previsões do modelo.
  • Acurácia das previsões: O desempenho do modelo em termos de previsão também é um aspecto importante a ser avaliado. Comparar as previsões geradas pelo modelo com os valores observados, calcular métricas de desempenho (como erro médio absoluto, erro quadrático médio, etc.) e realizar testes estatísticos para verificar a precisão das previsões são abordagens comuns para avaliar a acurácia do modelo.
  • Sensibilidade às mudanças: Verificar como o modelo se comporta em diferentes cenários ou períodos de tempo é crucial para entender sua robustez e capacidade de adaptação. Avaliar a sensibilidade do modelo a mudanças nas condições da série (por exemplo, mudanças estruturais, eventos extraordinários) e verificar se o modelo é capaz de capturar essas mudanças de forma adequada é uma parte importante do diagnóstico.
  • Testes adicionais: Dependendo do contexto e dos objetivos da análise, podem ser aplicados outros testes específicos para verificar a adequação do modelo. Isso inclui testes de raiz unitária para verificar a presença de tendência ou não estacionariedade, testes de heterocedasticidade para verificar a presença de variância não constante nos resíduos, entre outros.

O diagnóstico de modelos é um processo iterativo, no qual é possível realizar ajustes e melhorias no modelo com base nas informações obtidas durante a análise.

É importante lembrar que nenhum modelo é perfeito e que o diagnóstico é uma forma de avaliar suas limitações e incertezas.

A interpretação dos resultados do diagnóstico requer conhecimento teórico e prático sobre modelos de séries temporais, além de considerar o contexto específico da aplicação.

Podemos usar a função normaltest do módulo scipy.stats para realizar um teste de normalidade nos resíduos: 

import pandas as pd
import numpy as np
import statsmodels.api as sm
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt

# Criar um dataframe de exemplo
data = pd.DataFrame({'data': pd.date_range('2022-01-01', periods=100, freq='M'),
                     'valor': np.random.rand(100),
                     'const': 1})

# Definir a variável data como o índice do dataframe
data.set_index('data', inplace=True)

# Ajustar o modelo SARIMAX
model = sm.tsa.SARIMAX(data['valor'], order=(1, 0, 1), seasonal_order=(1, 0, 1, 12))
model_fit = model.fit()

# Diagnosticar o modelo
model_fit.plot_diagnostics(figsize=(10, 8))
plt.show()

Obter os resíduos do modelo: 

residuals = model_fit.resid

Teste de normalidade dos resíduos (Teste de Shapiro-Wilk): 

shapiro_test = stats.normaltest(residuals)
#print("Teste de Shapiro-Wilk - p-value:", shapiro_test.pvalue)
print("Teste de Shapiro-Wilk:", shapiro_test)

Teste de autocorrelação dos resíduos (Teste de Ljung-Box): 

ljung_box_test = sm.stats.acorr_ljungbox(residuals, lags=[10])
#print("Teste de Ljung-Box - p-value:", ljung_box_test[1][0])
print("Teste de Ljung-Box:", ljung_box_test)

Teste de heterocedasticidade dos resíduos (Teste de Breusch-Pagan): 

breusch_pagan_test = sm.stats.diagnostic.het_breuschpagan(residuals, exog_het=data)
#print("Teste de Breusch-Pagan - p-value:", breusch_pagan_test[1])
print("Teste de Breusch-Pagan:", breusch_pagan_test[["valor","const"]])

Neste código, usamos a função normaltest do módulo scipy.stats para realizar o teste de normalidade nos resíduos.

Os outros testes de diagnóstico permanecem os mesmos.

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