Estatística Básica
Carregando, aguarde alguns segundos.

9 - Probabilidade

Embora o cálculo das probabilidades pertença ao campo da Matemática, sua inclusão neste curso se justifica pelo fato de a maioria dos fenômenos de que trata a Estatística ser de natureza aleatória ou probabilística.

Consequentemente, o conhecimento dos aspectos fundamentais do cálculo de probabilidades é uma necessidade essencial para o estudo de Estatística Indutiva ou Inferencial.

A Estatística também é um ramo da Matemática.

O estudo das probabilidades foi motivado inicialmente pelos jogos, encontrando posteriormente aplicações em outros campos, como a genética, a medicina, a economia, a política e outros setores da atividade humana em que há necessidade de prever a ocorrência de determinado fato.

9.1 - A linguagem das probabilidades

A teoria das Probabilidades utiliza uma linguagem muito própria que é preciso assimilar.

9.1.1 - Experimento aleatório

Experimento aleatório é todo experimento que, mesmo repetido, várias vezes, sob condições semelhantes, apresenta resultados imprevisíveis, dentre os resultados possíveis.

Exemplos:

  • a) Lançamento de uma moeda.
  • b) Lançamento de um dado.
  • c) Loteria de números.
  • d) Extração de uma carta de baralho.
  • e) Abrir um livro ao acaso e ver o número de página.
  • f) Escolher um aluno ao acaso e perguntar-lhe quantos irmãos tem.

9.1.2 - Espaço Amostral

Espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto de todos os resultados possíveis desse experimento. Notação: S

Exemplos:

  • a) No lançamento de uma moeda, temos S = { cara, coroa}
  • b) No lançamento de um dado (perfeito), temos S = {1,2,3,4,5,6}

9.1.3 - Evento

Evento é todo subconjunto de um espaço amostral S de um experimento aleatório. Notação: E

Exemplos de eventos:

a) No lançamento de duas moedas

  • E1: aparecem faces iguais
  • E1 = {(c,c), (k,k)}; portanto, o número de elementos do evento E1 é n(E1) = 2.
  • E2: aparece cara em pelo menos 1 face
  • E2 = {(c,c), (c,k), (k,c), }; portanto, o número de elementos do evento E2 é n(E2) = 3.

b) No lançamento de dois dados

  • E1: aparecem números iguais
  • E1 = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}; portanto, o número de elementos do evento E1 é n(E1) = 6.
  • E2: o primeiro número é menor ou igual a 2
  • E2 = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)};

Portanto, o número de elementos do evento E2 é n(E2) = 12.

Alguns eventos particulares, através de exemplos:

9.1.3.1 - Evento Certo

Evento que possui os mesmos elementos do espaço amostral, (E=S).

  • E3: a soma dos resultados nos dois dados é menor ou igual a 12.

9.1.3.2 - Evento Impossível

Evento igual ao conjunto vazio.

  • E4: o número do primeiro dado é igual a 7.
  • E4 = Ø

9.1.3.3 - Evento Simples (ou Elementar)

O evento simples possui um único elemento.

  • E5: a soma dos resultados nos dois dados é igual a 12.
  • E5 = {(6,6)}

9.1.3.4 - Evento Complementar

Se A é um evento de um espaço amostral S, o evento complementar de A indicado por A′, $A^c$ ou $\bar A$ tal, que $A^c$ = S – A.

Exemplos:

  • a) A probabilidade de se realizar um evento é 1/5, a probabilidade de que ele não ocorra é 1 – 1/5 = 4/5.
  • b) Sabendo que a probabilidade de tirar o 4 no lançamento de um dado é 1/6. Logo, a probabilidade de não tirar o 4 no lançamento de um dado é 1 – 1/6 = 5/6.

9.1.3.5 - Eventos Mutuamente Exclusivos

Eventos são mutuamente exclusivos quando sua realização exclui a realização do(s) outro(s).

Assim, no lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e o evento “tirar coroa”, já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza.

Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um se realize. p = p1 + p2.

Ex.: Lançamos um dado. A probabilidade de se tirar o 3 ou o 5 é: p = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3, pois os dois eventos são mutuamente exclusivos.

Dois eventos são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um implica a não-ocorrência do outro. Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então$A \cap B = \varnothing$.

9.1.4 - Eventos Independentes

Dois eventos são independentes quando a realização ou a não-realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa.

Quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado no outro.

Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos. p = p1 x p2.

Ex.: No lançamento de dois dados, qual é a probabilidade de se obter 1 no primeiro dado e 5 no segundo dado? p = 1/6 x 1/6 = 1/36.

9.2 - Probabilidade

Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, vamos admitir que todos os elementos de S tenham a mesma chance de acontecer, ou seja, que S é um conjunto equiprovável.

Chamamos de probabilidade de um evento A (A Ϲ S) o número real P(A), tal que $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$, onde:

  • n(A) = é o número de elementos do evento A.
  • n(S) = é o número de elementos do espaço amostral S.

Ou melhor, se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:

$P(A) = \frac{número-casos-favoráveis}{número-casos-possíveis}$

Exemplos:

Considerando o lançamento de um dado, calcular

a) a probabilidade do evento A “obter um número ímpar na face superior”:

  • S= {1,2,3,4,5,6} → n(S) = 6
  • A= {1,3,5} → n(A) = 3
  • $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$ → $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 50\%$

b) a probabilidade do evento B “obter um número menor ou igual a 6 na face superior”:

  • S= {1,2,3,4,5,6} → n(S) = 6
  • B= {1,2,3,4,5,6} → n(B) = 6
  • $P(B) = \frac{n(B)}{n(S)}$ → $P(B) = \frac{6}{6} = 1 = 100\%$

c) a probabilidade do evento C “obter o número 4 na face superior”:

  • S= {1,2,3,4,5,6} → n(S) = 6
  • C= {4} → n(C) = 1
  • $P(C) = \frac{n(C)}{n(S)}$ → $P(C) = \frac{1}{6}$

d) a probabilidade do evento D “obter um número maior que 6 na face superior”:

  • S= {1,2,3,4,5,6} → n(S) = 6
  • D= { } ou $\varnothing$ → n(D) = 0
  • $P(D) = \frac{n(D)}{n(S)}$ → $P(D) = \frac{0}{6} = 0$

Pelos exemplos, pode-se concluir que, sendo n(S) = n:

  • a) A probabilidade de um evento E qualquer (E Ϲ S) é um número P(E), tal que 0 ≤ P(E) ≤ 1.
  • b) A probabilidade do evento certo é igual a 1: P(S) = 1.
  • c) A probabilidade de um evento elementar E qualquer é, lembrando que n(E) 1: P(E) = $\frac{1}{n}$
  • d) A probabilidade do evento impossível é igual a zero: P($\varnothing$) = 0.
Arduino
Coautor
Betobyte
Autor
Autores
||| Áreas ||| Estatística ||| Python ||| Projetos ||| Dicas & Truques ||| Quantum ||| Estatística Básica || Estatística Básica || Estatistica Avançada || Bayes || Aulas | Conceitos Fundamentais (Conceitos fundamentais e compreensão da estatística, tratando da coleta, da análise, da interpretação e da apresentação de massas de dados numéricos, também significando um conjunto de dados numéricos.) | População e Amostra (População e amostra como um conjuntos de objetos, itens ou eventos com alguma característica ou propriedade comum mensurável, ordenável ou comparável de acordo com os limites propostos e objetivos do estudo.) | Séries Estatísticas (Séries estatísticas como distribuição de conjuntos de dados estatísticos em função da época, do local ou da espécie (fenômeno).) | Gráficos Estatísticos (Representação gráfica estabelecendo correspondência entre os termos da série e determinada figura geométrica, de tal modo que cada elemento da série seja representado por uma figura proporcional.) | Distribuição de Frequência (Distribuição de Frequência como conjunto de dados em uma tabela conforme as frequências ou repartições de seus valores, podendo ser discreta ou contínua de uma série estatística em que permanecem constantes o fato, o local e a época em que o fenômeno ocorreu.) | Medidas de Posição (Medidas de posição com a localização da maior concentração de valores de uma distribuição, isto é, se ela se localiza no início, no meio ou no final, ou, ainda, se há uma distribuição por igual.) | Medidas de Dispersão (Medidas de dispersão ou variabilidade empregadas na descoberta do grau de variabilidade ou dispersão dos valores observados em torno da média aritmética, medindo a representatividade da média e destacam o nível de homogeneidade ou heterogeneidade dentro de cada grupo estatístico analisado.) | Medidas de Assimetria/Curtose (Medidas de forma por descreverem a forma da curva de distribuição dos dados, indicando o grau de assimetria de uma distribuição de frequências unimodal em relação a uma linha vertical que passa por seu ponto mais elevado ou o grau de achatamento de uma distribuição em relação a distribuição padrão denominada curva normal.) | Probabilidade (O cálculo de probabilidades é uma necessidade essencial para o estudo de Estatística Indutiva (ou Inferencial) pelo fato de a maioria dos fenômenos tratados na Estatística serem de natureza aleatória ou probabilística.) | Distribuição Binomial (A probabilidade de ocorrerem k sucessos e (n–k) fracassos dada pelo termo geral do Binômio de Newton.) |