10 - Distribuição Binomial
Considerando-se um experimento aleatório, observa-se a probabilidade de ocorrer um evento E (sucesso), assim como seu complementar E’ (insucesso), em n tentativas independentes.
A probabilidade de ocorrerem k sucessos e (n–k) fracassos é dada pelo termo geral do Binômio de Newton $(p+q)^n$:
P = $\binom{n}{k} \times p^k \times q^{n-k}$
P = $\frac{n!}{k!(n-k)!} \times p^k \times q^{n-k}$
sendo p a probabilidade de sucesso em cada tentativa e q=1–p a probabilidade de fracasso.
“Sucesso” e “fracasso” aqui apenas apresentam ocorrências que se excluem e se complementam.
- Se ocorre um sucesso, não ocorre um fracasso, e vice-versa.
- Sucesso e fracasso cobrem todas as possibilidades, não há ocorrência diferente dessas.
Exemplos:
a) Uma moeda é lançada 6 vezes seguidas. Determine a probabilidade de se obter cara 4 vezes nos 6 lançamentos.
Sendo p a probabilidade de se obter cara, p = ½ , e q a probabilidade de se obter coroa, q = 1 – ½ = ½ .
Como n = 6 e k = 4, tem – se:
- P = $\binom{6}{4} \times \frac{1}{2}^4 \times \frac{1}{2}^2$
- P = $\frac{6!}{4!(6-4)!} \times \frac{1}{16} \times \frac{1}{4}$
- P = $\frac{6.5.4!}{4!2!} \times \frac{1}{64}$
- P = $\frac{30}{2} \times \frac{1}{64}$
- P = $\frac{15}{64} = 0.234375 = 23,44\%$
b) Qual é a probabilidade de uma família com seis filhos ter dois filhos homens, supondo-se que a probabilidade de que nasça menino ou menina seja igual.
Dados: n = 6 | k = 2 | p = ½.
- P = $\binom{6}{4} \times \frac{1}{2}^2 \times \frac{1}{2}^4$
- P = $\frac{6!}{2!(6-2)!} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{16}$
- P = $\frac{6.5.4!}{2!4!} \times \frac{1}{64}$
- P = $\frac{30}{2} \times \frac{1}{64}$
- P = $\frac{15}{64} = 0.234375 = 23,44\%$
c) Jogando 5 vezes um dado honesto, qual a probabilidade de ocorrer só três vezes o resultado 2?
Dados: n = 5 | k = 3 | p = 1/6 | q = 1 – 1/6 = 5/6
- P = $\binom{5}{3} \times \frac{1}{3}^4 \times \frac{2}{3}^2$
- P = $\frac{5!}{3!(5-3)!} \times \frac{1}{216} \times \frac{25}{36}$
- P = $\frac{5.4.3!}{3!2!} \times \frac{25}{7776}$
- P = $\frac{500}{15552} = 0,032 = 3,2\%$
d) Dois times de futebol A e B disputam 6 partidas. Qual é a probabilidade de o time A ganhar 4 partidas?
Dados: n = 6 | k = 4 | p = 1/3 | q = 1 - 1/3 = 2/3.
- P = $\binom{6}{4} \times \frac{1}{3}^4 \times \frac{2}{3}^2$
- P = $\frac{6!}{4!(6-4)!} \times \frac{1}{81} \times \frac{4}{9}$
- P = $\frac{6.5.4!}{4!2!} \times \frac{4}{729}$
- P = $\frac{120}{1458} = 0,0823 = 8,23\%$
e) Sabendo-se que a probabilidade de uma pessoa acertar um tiro no alvo é ¼, qual é a probabilidade de acertar pelo menos um tiro em 4 tentativas? Dados: n = 4 p= ¼ q= ¾
1 acerto, k = 1:
- P1 = $\binom{4}{1} \times \frac{1}{4}^1 \times \frac{3}{4}^3$
- P1 = $\frac{108}{256}$
2 acertos, k = 2:
- P2 = $\binom{4}{2} \times \frac{1}{4}^2 \times \frac{3}{4}^2$
- P2 = $\frac{54}{256}$
3 acertos, k = 3:
- P3 = $\binom{4}{3} \times \frac{1}{4}^3 \times \frac{3}{4}^1$
- P3 = $\frac{12}{256}$
4 acertos, k = 4:
- P4 = $\binom{4}{4} \times \frac{1}{4}^4 \times \frac{3}{4}^0$
- P4 = $\frac{1}{256}$
P = $P_1 + P_2 + P_3 + P_4$:
- P = $\frac{108}{256} + \frac{54}{256} + \frac{12}{256} + \frac{1}{256}$
- P = $\frac{175}{256} = 0,6835938 = 68,36\%$
f) Suponha que numa linha de produção, a probabilidade de se obter uma peça defeituosa é igual a 0,1. Toma-se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas. Qual é a probabilidade de se obter uma peça defeituosa?
Dados: n = 10 | k = 1 | p = 0,1 | q = 1 – 0,1 = 0,9.
- P = $\binom{10}{1} \times {0,1}^1 \times {0,9}^9$
- P = $10 \times 0,1 \times {0,3874}$
- P = $0,3874 = 38,74\%$
g) Suponha que numa linha de produção, a probabilidade de se obter uma peça defeituosa é igual a 0,1. Toma-se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas. Qual é a probabilidade de se obter nenhuma peça defeituosa?
Dados: n = 10 | k = 0 | p = 0,1 | q = 1 – 0,1 = 0,9.
- P = $\binom{10}{0} \times (0,1)^0 \times (0,9)^{10}$
- P = $\frac{10!}{0!(10-0)!} \times 1 \times 0,3486$
- P = $1 \times 1 \times 0,3486 = 34,86\%$
